Question

（2012•鎮(zhèn)江）等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N（如圖1）．

（1）求證：AM=AN；
（2）設(shè)BP=x．
①若BM=

3

8

，求x的值；
②求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；
③連接DE分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H（如圖2）．當(dāng)x為何值時(shí)，∠BAD=15°？此時(shí)，以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，從而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出結(jié)論．
（2）①由已知條件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出

BM

CP

=

BP

CA

，由已知條件可以建立方程求出BP的值．
②四邊形AMPN的面積就是四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，由△ADM≌△APN，S_△ADM=S_△APN，可以得出重合部分的面積就是△ADP的面積．
③連接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知條件可以得出四邊形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，設(shè)BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=

3

t，從而求得t的值，即可以求出結(jié)論．以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形，由已知條件可知四邊形ADPE為菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根據(jù)∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．設(shè)AO=a，則AD=AE=2a，OD=

3

a，得到DG=（

3

-1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3-

3

）a，HE=2（

3

-1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵△ABC、△APD和△APE是等邊三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵

∠DAM=∠PAN AD=AP ∠ADM=∠APN

，

∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN．

（2）①∵△ABC、△ADP是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴

BM

CP

=

BP

CA

，
∵BM=

3

8

，AC=2，CP=2-x，
∴4x²-8x+3=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

．
②∵四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積．
∵△ADM≌△APN，
∴S_△ADM=S_△APN，
∴S_{四邊形AMPN}=S_△APM+S_△APN=S_△AMP+S_△ADM=S_△ADP．
過(guò)點(diǎn)P作PS⊥AB，垂足為S，
在Rt△BPS中，∵∠B=60°，BP=x，
PS=BPsin60°=

3

2

x，BS=BPcos60°=

1

2

x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-

1

2

x，
∴AP²=AS²+PS²=(

3

2

x)2+(2-

1

2

x)2=x²-2x+4．
取AP的中點(diǎn)T，連接DT，在等邊三角形ADP中，DT⊥AP，
∴S△ADP=

1

2

AP．DT=

1

2

AP×

3

2

AP=

3

4

AP2，
∴S=S四邊形AMPN=S△ADP=

3

4

AP2=

3

4

(x-1)2+

3 3

4

（0＜x＜2），
∴當(dāng)x=1時(shí)，S的最小值是

3 3

4

．
③連接PG，若∠DAB=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等邊三角形，
∴四邊形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
設(shè)BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG=

3

t，
∴AG=PG=

3

t，
∴

3

t+t=2，
解得t=

3

-1，
∴BP=2t=2

3

-2．
∴當(dāng)BP=2

3

-2時(shí)，∠BAD=15°．
猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形．
設(shè)DE交AP于點(diǎn)O，
∵△APD和△APE是等邊三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA，
∴四邊形ADPE為菱形，
∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．
∵∠DAB=15°，
∴∠GAO=45°，
∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，
∴∠EAH=45°．
設(shè)AO=a，則AD=AE=2a，GO=AO=a，OD=

3

a．
∴DG=DO-GO=（

3

-1）a．
∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，
∴∠DHA=∠DAH=75°．
∴DH=AD=2a，
∴GH=DH-DG=2a-（

3

-1）a=（3-

3

）a．
HE=DE-DH=2DO-DH=2

3

a-2a．
∵DG²+GH²=[(

3

-1)a]2+[(3-

3

)a]2=(16-8

3

)a2，
HE²=(2

3

a-2a)2=(16-8

3

)a2．
∴DG²+GH²=HE²，
∴以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用．本題的綜合性較強(qiáng)在解答時(shí)要注意解答問(wèn)題的突破口，這也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．