Question

9．如圖，已知點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊BC上的一點(diǎn)，tanB=$\frac{1}{k}$，BC=（k+1）BD，CE⊥AD，則$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)得出$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{k}$，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{DF}{AF}$，進(jìn)而得出答案．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
∵∠CAB=90°，DF⊥AB，
∴AC∥DF，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BF}{AF}$，
∵BC=（k+1）BD，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{k}$，
∴AF=k•BF
∵tanB=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{DF}{FB}$=$\frac{1}{k}$，
∴DF=$\frac{1}{k}$FB，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\frac{1}{k}FB}{AF}$=$\frac{\frac{1}{k}FB}{k•FB}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$，
∵CE⊥AD，
∴tan∠ACE=$\frac{AE}{EC}$，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠DAB=90°，
∴∠ACE=∠DAF，
∴tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{{k}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{k}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行線分線段成比例定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，正確得出tan∠ACE=tan∠DAF=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{DF}{AF}$是解題關(guān)鍵．