Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，其對稱軸是x=1，且OB=OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線沿y軸平移t（t＞0）個單位，當平移后的拋物線與線段OB有且只有一個交點時，求t的取值范圍或t的值；
（3）拋物線上是否存在點P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO？若存在，求P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OB=OC，可得到B點的坐標，將B、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）把函數(shù)化為頂點式y(tǒng)=a（x-h）²+k的形式，向上平移使拋物線與x軸只有一個交點，即把解析式中的k變成0即可．
（3）取AC的中點M，過M作MN⊥AC交OC于N，連接AN則AN=CN，∠ACO=∠CAN，通過△MCN∽△OCA，求得CN的值，進而求得NO的值，從而得出tan∠NAO=

NO

AO

=

4

3

；當P在BC的上方時，設(shè)為P₁，過B作BD⊥BC交直線CP₁于D，過D作DE⊥x軸于E，通過證明△BDE∽△CBO，進而求得tan∠BCP₁=tan∠NAO=

4

3

，從而確定D點的坐標，把D點代入直線CP₁的解析式為y=k₁x+3，求得P₁點的坐標；當點P在BC下方時，設(shè)為P₂（m，n），則∠BCP₂=∠BCP₁，延長DB交直線CP₂于E，則點B是DE的中點，求得E點坐標，代入直線CP₂的解析式為y=k₂x+3，即可求得P₂的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與y軸交于點C
∴C（0，3），
∴OC=3
∵OB=OC，
∴OB=3
∵拋物線的對稱軸是x=1，
∴B（3，0），A（-1，0）
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

   
 解得

a=-1 b=2

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）由題意，拋物線只能沿y軸向下平移
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4-t（t＞0）
當原點O落在平移后的拋物線上時，把（0，0）代入得：
0=-（0-1）²+4-t，
解得t=3；
當平移后的拋物線的頂點落在x軸上時，x=1，y=0
即0=-（1-1）²+4-t，
解得t=4，
∵平移后的拋物線與線段OB有且只有一個交點
∴0＜t＜3或t=4                          

（3）取AC的中點M，過M作MN⊥AC交OC于N，連接AN
則AN=CN，
∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC-∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC-∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴

CM

CN

=

CO

CA

∴CN=

CM•CA

CO

=

CA2

2CO

=

12+32

2×3

=

5

3

∴NO=CO-CN=3-

5

3

=

4

3

，
∴tan∠NAO=

NO

AO

=

4

3

；
當點P在BC上方時，設(shè)為P₁，過B作BD⊥BC交直線CP₁于D，過D作DE⊥x軸于E
∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴

BE

CO

=

DE

BO

=

BD

BC

=tan∠BCP₁=tan∠NAO=

4

3

∴BE=

4

3

CO=4，DE=

4

3

BO=4，OE=3+4=7
∴D（7，4）
設(shè)直線CP₁的解析式為y=k₁x+3，把（7，4）代入
4=7k₁+3，
∴k₁=

1

7

，
∴y=

1

7

x+3
令-x²+2x+3=

1

7

x+3，
解得x₁=0（舍去），x₂=

13

7

∴P₁（

13

7

，

160

49

），
當點P在BC下方時，設(shè)為P₂（m，n），
則∠BCP₂=∠BCP₁
延長DB交直線CP₂于E，則點B是DE的中點
∴

m+7 2 =3 n+4 2 =0

    
解得

m=-1 b=-4

∴E（-1，-4）
設(shè)直線CP₂的解析式為y=k₂x+3，把（-1，-4）代入-4=-k₂+3，
∴k₂=7，
∴y=7x+3
令-x²+2x+3=7x+3，
解得x₁=0（舍去），x₂=-5
∴P₂（-5，-32）
綜上所述，拋物線上存在點P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO，
P點坐標為（

13

7

，

160

49

）或（-5，-32）．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，對稱軸頂點坐標的公式，以及函數(shù)與坐標軸交點坐標的求解方法．