Question

（2008•常州）如圖，拋物線y=x²+4x與x軸分別相交于點(diǎn)B、O，它的頂點(diǎn)為A，連接AB，把AB所在的直線沿y軸向上平移，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，得到直線l，設(shè)P是直線l上有一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請(qǐng)分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，當(dāng)≤S≤時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)公式，可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)（-，）且a=1，b=4，c=0．
∵y=x²+4x=（x+2）²-4，∴A（-2，-4）．
（2）若ABOP為菱形時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，則P點(diǎn)橫坐標(biāo)與A坐標(biāo)相同，然后再代入直線就可求出縱坐標(biāo)，則P坐標(biāo)就求出；若ABOP為等腰梯形時(shí)，OA=BP，已知O，A坐標(biāo)，可求出OA長(zhǎng)度，設(shè)P橫坐標(biāo)為a，P在直線上，可用a表示出坐標(biāo)，從而求出BP長(zhǎng)度，OA=BP，可求出a的值，即求出P坐標(biāo)．若ABOP為直角梯形時(shí)，BP與AB垂直，可求出直線BP的關(guān)系式，直線BP與直線l的交點(diǎn)即P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）首先可以得出l的解析式．據(jù)圖分析有兩種情況可以構(gòu)成QABP為四邊形，即當(dāng)P在第二象限時(shí)和在第四象限時(shí)，當(dāng)P在第二象限時(shí)，四邊形由△AOB和△POB組成，△AOB面積確定，則△POB的面積可以求出來(lái)，由于△AOB+△POB代入到面積的不等式中可以得出x的取值范圍．同理當(dāng)P在第四象限時(shí)，△AOB+△AOP代入到面積不等式中可以得到x的取值范圍．
得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8，所以直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-2x），分別討論點(diǎn)P在第二象限以及第四象限的值．
解答：解：（1）∵y=x²+4x=（x+2）²-4，（1分）
∴A（-2，-4）．（2分）

（2）由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8，
所以直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x．
當(dāng)四邊形ABOP是菱形時(shí)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)與A點(diǎn)坐標(biāo)互為相反數(shù)，四邊形ABP₁O為菱形時(shí)，P₁（-2，4）；
四邊形ABOP₂為等腰梯形時(shí)，設(shè)P₂橫坐標(biāo)為a，將x=a代入y=-2x，得
P₂（a，-2a）．
又∵AO==2，
∴P₂B=，
∴=2，
整理得，5a²+8a-4=0，
解得，a=-2（舍去），a=，故P₂（，）；
ABOP為直角梯形時(shí)，BP₃與AB垂直，則直線BP的解析式為y=x+b，
把B（-4，0）代入解析式得，×（-4）+b=0，
解得b=2．
直線BP的解析式為y=x+2，
故得，
解得，
四邊形ABP₃O為直角梯形時(shí)，P₃（，）；
同理，當(dāng)AP₄垂直于AB時(shí)，四邊形ABOP₄為直角梯形，P₄（，）．（6分）

（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-2x）．
①當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，x＜0，
△POB的面積S_△POB=×4×（-2x）=-4x．
∵△AOB的面積S_△AOB=×4×4=8，
∴S=S_△AOB+S_△POB=-4x+8（x＜0）．（8分）
∵4+6≤S≤6+8，
∴
即
∴
∴x的取值范圍是．（9分）
②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，x＞0，過(guò)點(diǎn)A、P分別作x軸的垂線，垂足為A′、P′．則四邊形POA′A的面積S_POA′A=S_{梯形PP′A′A}-S_△PP′O=•（x+2）-•（2x）•x=4x+4．
∵△AA′B的面積S_△AA′B=×4×2=4，
∴S=S_POA′A+S_△AA′B=4x+8（x＞0）．（10分）
∵4+6≤S≤6+8，
∴
即
∴
∴x的取值范圍是≤x≤．（11分）
點(diǎn)評(píng)：該題首先是考查了拋物線函數(shù)的特性，要求掌握拋物線函數(shù)的特點(diǎn)．其次是利用不等式通過(guò)動(dòng)態(tài)點(diǎn)的變化來(lái)加深了解拋物線曲線和一次函數(shù)的關(guān)系．