Question

【題目】【試題背景】已知:l ∥m∥n∥k，平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d1、d2、d3 ， 且d1 =d3 = 1，d2 = 2 ．我們把四個頂點分別在l、m、n、k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．
（1）【探究1】如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，BEL于點E,BE的反向延長線交直線k于點F． 求正方形ABCD的邊長．

（2）【探究2】矩形ABCD為“格線四邊形”，其長 ：寬 = 2 ：1 ，求矩形ABCD的寬
（3）【探究3】如圖2，菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC=60°，△AEF是等邊三角形， 于點E， ∠AFD=90°，直線DF分別交直線l、k于點G、M． 求證：EC=DF．

（4）【拓 展】如圖3，l ∥k，等邊三角形ABC的頂點A、B分別落在直線l、k上， 于點B，且AB=4 ，∠ACD=90°，直線CD分別交直線l、k于點G、M，點D、E分別是線段GM、BM上的動點，且始終保持AD=AE， 于點H．

猜想：DH在什么范圍內，BC∥DE？直接寫出結論。

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵BE⊥l , l ∥k ,

∴∠AEB=∠BFC=90°, 又四邊形ABCD是正方形，

∴∠1+∠2=90°，AB=BC,

∵∠2+∠3=90°,

∴ ∠1=∠3,∴⊿ABE≌⊿BCF（AAS）,

∴AE=BF=1 ,

∵BE=d1+d2=3 ,

∴AB= = ,

∴正方形的邊長是

（2）解：（注意：要分2種情況討論）如圖2,3

∵ ⊿ABE∽⊿BCF,

∴ 或 ，

∵BF=d3=1 ,

∴AE= 或AE=2,

∴AB= = 或 AB= = ，

∴矩形ABCD的寬為 或

（3）解：如圖4，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=DC,又∠ADC=60°,

∴⊿ADC是等邊三角形，

∴AD=AC，

∵AE⊥k , ∠AFD=90°,

∴∠AEC=∠AFD=90°，

∵⊿AEF是等邊三角形，

∴ AF=AE，

∴⊿AFD≌⊿AEC（HL），

∴EC=DF

（4）解：如圖5，當2＜DH＜4時， BC∥DE ．

【解析】（1）根據(jù)垂線的定義及平行線的性質得出∠AEB=∠BFC=90°，根據(jù)正方形的性質得出∠1+∠2=90°，AB=BC, 然后利用同角的余角相等得出 ∠1=∠3，利用AAS證明△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質得出AE和BE的長，然后利用勾股定理即可求解；
（2） 過B作BE⊥l于點E，交k于點F，易證△AEB∽△BCF，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例，得出==或==又BF=d3=1 , 故AE= 或AE=2,然后分AB是長和AB是寬兩種情況進行討論求得；
（3）連接AC，根據(jù)菱形的性質知AD=DC,又∠ADC=60°,進而判斷出△ADC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得出AD=AC，AF=AE，根據(jù)垂直的定義得出∠AEC=∠AFD=90°，再證明△AFD≌△AEC（HL），根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得；
（4）連接AM，首先證明△ABE≌△ACD，然后證明Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），根據(jù)全等三角形的對應角相等，以及等腰直角三角形 的性質證明∠MBC=∠MED，則ED∥BC即可證得．

【考點精析】通過靈活運用菱形的性質和矩形的性質，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．