（本題滿分10分）如圖所示，過點F（0，1）的直線y＝kx＋b與拋物線y＝ x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點（其中x1＜0，x2＜0）．

（1）求b的值．

（2）求x1•x2的值

（3）分別過M、N作直線l：y＝－1的垂線，垂足分別是M1、N1，判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結論．

（4） 對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

解：（1）把點F（0，1）坐標代入y=kx＋b中得b=1.        ……（1分）

（2）由y= x2和y=kx＋1得 x2-kx-1=0化簡得

x1=2k-2     x2=2k＋2   x1·x2=-4              ……（3分）[

（3）△M1FN1是直角三角形（F點是直角頂點）.理由如下：設直線l與y軸的交點是F1

FM12=FF12+M1F12=x12＋4    FN12=FF12＋F1N12=x22＋4

M1N12=（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8

∴FM12+FN12=M1N12∴△M1FN1是以F點為直角頂點的直角三角形.   ……（6分）

（4）符合條件的定直線m即為直線l：y=-1.

過M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2+［（kx1+1）-(kx2+1)］2=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2=(k2+1)（x1-x2）2=(k2+1)(4 ）2=16（k2+1)2 

∴MN=4(k2+1)

分別取MN和M1N1的中點P，P1，

PP1= （MM1+NN1）=  (y1+1+y2+1)= （y1+y2）+1= k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1)     ∴PP1= MN

即線段MN的中點到直線l的距離等于MN長度的一半.

∴以MN為直徑的圓與l相切.    ……（10分）

 

 

 

 

 解析:略

 

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相關習題

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（本題滿分10分）

如圖，將OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒１個單位的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．

（1）點B的坐標為　  ；用含t的式子表示點P的坐標為     ；(3分)

（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式（0 < t < 6）；并求t為何值時，S有最大值？(4分)

（3）試探究：當S有最大值時，在y軸上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．(3分)

 

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（1）求點與點的坐標；
（2）當四邊形為菱形時，求函數(shù)的關系式．

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（1）求垂直支架的長度；（結果保留根號）
（2）求水箱半徑的長度．（結果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：）
         

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

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（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？

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