Question

如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，
（1）求證：AT平分∠BAC；
（2）若已知AD=2，TC=，試解答下列問題：
①求⊙O的半徑；
②求弦AD、AT與弧TD所圍成圖形的面積．

Answer 1

解：（1）連接OT，∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ又AC⊥PQ，
∴OT∥AC．
∴∠TAC=∠OTA=∠OAT．
∴AT平分∠BAC．

（2）①作OE⊥AC于E，∴四邊形OTCE是矩形，
∴，又
由勾股定理得，
∴⊙O的半徑為2．
②∵OT∥AD，且OT=AD=2，
∴四邊形ADTO是平行四邊形，
∴TD∥AO，
∴△ATD與△OTD的面積相等，
∴弦AD、AT與弧TD圍成的圖形的面積等于扇形OTD的面積，
∵△ADO是等邊三角形，
∴∠TOD=∠ODA=60°，扇形的面積為．
分析：（1）連接OT，證明∠TAC=∠OAT；
（2）首先在直角三角形中解得半徑，由題意可知弦AD、AT與弧TD圍成的圖形的面積等于扇形OTD的面積，找出扇形的圓心角半徑，求出面積．
點評：本題主要考查扇形面積的計算，所求圖形可以轉(zhuǎn)化成求扇形的面積．