Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：△ABC為等邊三角形．

(2)求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）DE＝1.

【解析】

（1）連接AD，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角及垂直平分線的性質(zhì)得到相等的線段AB=AC，聯(lián)立已知的AB=BC，即可證得△ABC是等邊三角形；

（2）連接BE，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到BE⊥AC，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出E為AC的中點(diǎn)，繼而利用三角形中位線的數(shù)量關(guān)系求得DE的長(zhǎng)度．

(1)連接AD．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC．

∵AB=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC為等邊三角形．

(2)連接BE．

∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．

∵△ABC是等邊三角形，∴AE=EC，即E為AC的中點(diǎn)．

∵D是BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE=AB=×2=1．