Question

陽光公司生產某種產品，每件成本3元，售價4元，年銷售量為20萬件，為獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告．根據經驗，每年投入的廣告費是x（萬元）時，產品的銷量是原銷量的y倍，且y與x之間滿足：y=

3 10 x+1              (0＜x≤1) - 1 10 x2+ 7 10 x+ 7 10 (1＜x≤3) 19 10                    (x＞3)

如果把利潤看成是銷售總額減去成本費和廣告費．
（1）試求出年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）的函數關系式，并注明x的取值范圍；
（2）若

1

2

≤x≤5，要使利潤S隨廣告費x的增大而增大，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）年利潤S=原年銷售量×x×每件產品的利潤-廣告費，把相關數值代入求得不同范圍的年利潤即可；
（2）根據（1）得到的函數逐個進行分析得到S隨廣告費x的增大而增大的x的取值范圍即可．

解答：解：（1）當0＜x≤1時，S=（

3

10

x+1）×20-x=5x+20；
當1＜x≤3時，S=（-

1

10

x²+

7

10

x+

7

10

）×20-x=-2x²+13x+14
當x＞3時，S=

19

10

×20-x=38-x；
∴S=

5x+20(0＜x≤1) -2x2+13x+14(1＜x≤3) 38-x(x＞3)

；

（2）在S=5x+20（0＜x≤1）中，S隨x的增大而增大．
當1＜x≤3時，S=-2x²+13x+14=-2（x-

13

4

）²+

281

8

∴當1＜x≤3時，S隨x的增大而增大．
若

1

2

≤x≤5，
∴要使利潤S隨廣告費x的增大而增大，則x的取值范圍為

1

2

≤x≤3．

點評：考查二次函數的應用；得到利潤的關系式是解決本題的關鍵．