Question

圖1是邊長分別為4

3

和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于F（圖2）；
探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR（圖3）；
探究：設(shè)△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍．
（3）操作：圖1中△C′D′E′固定，將△ABC移動，使頂點C落在C′E′的中點，邊BC交D′E′于點M，邊AC交D′C′于點N，設(shè)∠AC C′=α（30°＜α＜90°（圖4）；
探究：在圖4中，線段C′N•E′M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出C′N•E′M的值，如果有變化，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）BE=AD，可通過證三角形BEC和ACD全等來得出．
（2）由于重合部分的面積無法直接求出，因此可用△RPQ的面積減去△RST的面積來求得（S、T為RP、RQ與AC的交點）．△PRQ的面積易求得．關(guān)鍵是△RST的面積，三角形RST中，由于∠RTS=∠CTQ=60°-∠TCQ=30°，而∠R=60°，因此△RST是直角三角形，只需求出RS和ST的長即可．上面已經(jīng)求得了∠QTC=∠QCT=30°，因此RT=RQ-QT=RQ-QC=3-x，然后根據(jù)△RTS中特殊角的度數(shù)即可得出RS和ST的長，進而可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）本題可通過證△CE′M和△NCC′相似來求解．

解答：解：（1）BE=AD
證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD
∴BE=AD．

（2）如圖在△CQT中
∵∠TCQ=30°∠RQP=60°
∴∠QTC=30°
∴∠QTC=∠TCQ
∴QT=QC=x
∴RT=3-x
∵∠RTS+∠R=90°
∴∠RST=90°
∴y=

3

4

×3²-

3

8

（3-x）²=-

3

8

（3-x）²+

9 3

4

（0≤x≤3）．

（3）答：C′N•E′M的值不變，理由為：
證明：∵∠ACB=60°
∴∠MCE′+∠NCC′=120°
∵∠CNC′+∠NCC′=120°
∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′
∴△E′MC∽△C′CN
∴

E′M

C′C

=

E′C

C′N

，
∴C′N•E′M=C′C•E′C=

3

2

×

3

2

=

9

4

．

點評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和平移變換、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，綜合性強，難度較高．