Question

13．如圖，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則△BOF的面積為$\frac{75}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出BF，根據(jù)勾股定理求出OF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∵EF是BD的垂直平分線(xiàn)，
∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，
∴△BOF∽△BCD，
∴$\frac{BO}{BC}$=$\frac{BF}{BD}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{BF}{10}$，
解得，BF=$\frac{25}{4}$，
則OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
則△BOF的面積=$\frac{1}{2}$×OF×OB=$\frac{75}{8}$，
故答案為：$\frac{75}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個(gè)角是直角、對(duì)邊相等以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．