Question

如圖，△ABC及△CDE均為等邊三角形，B、C、E、在同一直線上．AE與BD相交于O，則下列結論中正確的有

①△ACE≌△BCD；

②∠AOB=∠ACB；

③AC∥DE；

④OC平分∠ACD

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①③④

Answer 1

C
分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，推出∠BCD=∠ACE，利用SAS證明△ACE≌△BCD，判斷①正確；
由△ACE≌△BCD，得出∠CAE=∠CBD，又根據(jù)三角形外角的性質(zhì)有∠AOB=∠CBD+∠AEC，∠ACB=∠CAE+∠AEC，判斷②正確；
由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠DEC=60°，根據(jù)平行線的判定定理判斷③正確；
先證明∠MOC=∠NOC，再證明∠OMC≠∠ONC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠MCO≠∠NCO，判斷④錯誤．
解答：①∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），①正確；
②∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
又∵∠AOB=∠CBD+∠AEC，∠ACB=∠CAE+∠AEC，
∴∠AOB=∠ACB，②正確；
③∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DEC=60°，
∴AC∥DE，③正確；
④設AC與BD交于點M，AE與CD交于點N．
由②可知，∠AOB=∠ACB=60°，
∴∠MON=120°．
由①△ACE≌△BCD，可得∠CAE=∠CBD，即∠MAO=∠MBC，
又∵∠AMO=∠BMC，
∴△AMO∽△BMC，
∴=，
∵∠AMB=∠OMC，
∴△AMB∽△OMC，
∴∠MAB=∠MOC=60°，
∴∠NOC=∠MON-∠MOC=60°．
∵∠OMC=∠OBC+∠BCA=∠EAC+60°，
∠ONC=∠OEC+∠NCE=∠AEC+60°，
在△ACE中，∵AC≠CE，
∴∠EAC≠∠AEC，
∴∠OMC≠∠ONC，
∵∠MCO=180°-∠MOC-∠OMC=180°-60°-∠OMC=120°-∠OMC，
∠NCO=180°-∠NOC-∠ONC=180°-60°-∠ONC=120°-∠ONC，
∴∠MCO≠∠NCO，即OC不平分∠ACD，④錯誤．
故選C．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，題目具有一定的代表性，有一定的難度．當題中出現(xiàn)兩個等邊三角形時，常見的兩對三角形對應全等等知識點應牢固掌握．得到其中的三角形相似并且利用相似的性質(zhì)是本題的難點．