Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線m從與AC重合的位置開始，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交AB于點(diǎn)D．過點(diǎn)C作CE∥AB交直線m于點(diǎn)E，設(shè)直線m的旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)α等于多少度時(shí)，四邊形EDBC為菱形，并說明理由；
（3）當(dāng)α=______度時(shí)，四邊形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)得OA=OC，由CE∥AB得∠A=∠ECO=30°，根據(jù)“ASA”可判斷△AOD≌△COE，則CE=AD；
（2）由于∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，則∠A=30°，AB=4，由（1）得到EC∥AD且EC=AD，所以EC=BD時(shí)，即BD=2，四邊形EDBC為平行四邊形，加上BC=BD，于是可得到四邊形EDBC為菱形，則∠AOD=∠ACB=90°；
（3）由于四邊形ADCE是平行四邊形，則當(dāng)AC=DE時(shí)，四邊形ADCE是矩形，即OA=OD，而∠A=30°，則∠AOD=120°．
解答：（1）證明：∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ECO=30°，
∵在△AOD和△COE中
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴CE=AD；

（2）解：α等于90度時(shí)，四邊形EDBC為菱形．理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，
∵EC∥AD且EC=AD，
當(dāng)EC=BD時(shí)，即BD=2，四邊形EDBC為平行四邊形，
∵BC=BD，
∴四邊形EDBC為菱形，
此時(shí)∠AOD=∠ACB=90°，
∴α=90°時(shí)，四邊形EDBC為菱形；

（3）解：∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴當(dāng)AC=DE時(shí)，四邊形ADCE是矩形，
即OA=OD，
而∠A=30°，
∴∠AOD=120°，
∴旋轉(zhuǎn)角為α=120°時(shí)，四邊形ADCE是矩形．
故答案為120．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及菱形和矩形的判定．