Question

如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則sin∠ECB為（　�。�

A．      B．      C．      D．

Answer 1

B【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義．

【分析】根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=4，設(shè)AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根據(jù)勾股定理得到x²=4²+（x﹣2）²，解得x=5，則AE=10，OC=3，再由AE是直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位線得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可計(jì)算出CE，由三角函數(shù)的定義求出sin∠ECB即可．

【解答】解：連結(jié)BE，如圖，

∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

設(shè)AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，

在Rt△ACO中，∵AO²=AC²+OC²，

∴x²=4²+（x﹣2）²，

解得：x=5，

∴AE=10，OC=3，

∵AE是直徑，

∴∠ABE=90°，

∵OC是△ABE的中位線，

∴BE=2OC=6，

在Rt△CBE中，CE===2，

∴sin∠ECB===．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理、圓周角定理、三角函數(shù)；由勾股定理求出半徑是解決問題的突破口．