Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，E是BC的中點，AE=CE，∠BAC=3∠CBD，BD=，則AB=________．

Answer 1

12
分析：作DF⊥BC于F，根據題意判斷出△ABC是等腰直角三角形，求出∠CBD的度數，進而判斷出△ACD是等邊三角形，設AB=a，在Rt△BDF中利用直角三角形的性質求出DF的長，用a表示出CF的長，再根據勾股定理即可得出a的值，進而得出答案．
解答：解：作DF⊥BC于F，
∵AB=AC=AD，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
∵AE=CE，BE=EC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAC=3∠CBD，
∴∠DBC=30°，∠ABD=15°，
∴∠BAD=180°-15°-15°=150°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=60°，
∵AC=AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AB=AC=AD=CD，
設AB=a，則BC=a，AC=AD=CD=a，
在Rt△BDF中，
∵∠DBF=30°，BD=，
∴DF==3+3，BF=BD•cos∠CBD=（6+6）×=3+9，
∴CF=BF-BC=3+9-a，
在Rt△CDF中，
CF²+DF²=CD²，即（3+9-a）²+（3+3）²=a²，解得a=12．
故答案為：12．
點評：本題考查的是等腰直角三角形的性質、等邊三角形的判定與性質及含30度角的直角三角形的性質，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出含30度角的直角三角形，根據直角三角形的性質進行解答．