Question

（2010•綿陽(yáng)）如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E（1，2）為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線(xiàn)與x軸、y軸分別交于F、G．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在直線(xiàn)EF上求一點(diǎn)H，使△CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△EFK的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而可用配方法求出其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，由于CD是定長(zhǎng)，若△CDH的周長(zhǎng)最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分線(xiàn)段BC，那么B、C關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，所以BD與EF的交點(diǎn)即為所求的H點(diǎn)；易求得直線(xiàn)BC的解析式，關(guān)鍵是求出直線(xiàn)EF的解析式；由于E是BC的中點(diǎn)，根據(jù)B、C的坐標(biāo)即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；可證△CEG∽△COB，根據(jù)相似三角形所得的比例線(xiàn)段即可求出CG、OG的長(zhǎng)，由此可求出G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)EF的解析式，由此得解；
（3）過(guò)K作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)EF于N；設(shè)出K點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)和直線(xiàn)EF的解析式，即可表示出K、N的縱坐標(biāo)，也就能得到KN的長(zhǎng)，以KN為底，F(xiàn)、E橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，可求出△KEF的面積，由此可得到關(guān)于△KEF的面積與K點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出其面積的最大值及對(duì)應(yīng)的K點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-4，0）、B（2，0），
，
解得，b=-1．
所以?huà)佄锞�(xiàn)的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，）．

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，
因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線(xiàn)EG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，
連接BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH+CH最小，
即最小為：DH+CH=DH+HB=BD=；
而；
∴△CDH的周長(zhǎng)最小值為CD+DH+CH=；
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=k₁x+b₁，則
解得：；
所以直線(xiàn)BD的解析式為y=x+3；
由于BC=2，CE=BC=，Rt△CEG∽R(shí)t△COB，
得CE：CO=CG：CB，
所以CG=2.5，GO=1.5，G（0，1.5）；
同理可求得直線(xiàn)EF的解析式為y=x+；
聯(lián)立直線(xiàn)BD與EF的方程，解得使△CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H（，）；

（3）設(shè)K（t，），-4＜t＜2、過(guò)K作x軸的垂線(xiàn)交EF于N；
則KN=y_K-y_N=-（t+）=-；
所以S_△EFK=S_△KFN+S_△KNE=KN（t+3）+KN（1-t）=2KN=-t²-3t+5=-（t+）²+；
即當(dāng)t=-時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K（-，）．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合類(lèi)試題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，難度較大．