Question

是否存在非負(fù)整數(shù)a，b，使得|3^a-2^b|=41成立？若存在，求出a，b；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：首先驗(yàn)證a，b沒有0，再分兩種情況①若3^a-2^b=41；②若2^b-3^a=41進(jìn)行推導(dǎo)即可求解．
解答：解：直接驗(yàn)證a，b沒有0，
①若3^a-2^b=41→-（-1）^b≡-1（mod 3）→b是偶數(shù)→b≥2→（-1）^a≡1（mod 4）→a是偶數(shù)，
設(shè)a=2x，b=2y，（x，y是正整數(shù)）
（3^x-2^y）（3^x+2^y）=41→3^x-2^y=1，3^x+2^y=41，易知無正整數(shù)解．
②若2^b-3^a=41→b是奇數(shù)，2^b=41→b≥6．又-（-1）^a≡1（mod 4）→a是奇數(shù)．
顯然a不等于1，
于是a≥3，設(shè)a=2z+1（z為正整數(shù)）
-9^b×3≡41（mod 8）→-3≡41（mod 8），矛盾．
綜上所述，方程沒有非負(fù)整數(shù)解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了整數(shù)問題的綜合運(yùn)用，注意分類思想的運(yùn)用，有一定的難度．