Question

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．

⑴ 當(dāng)△ABC的邊(BC邊除外)與圓第一次相切時，點(diǎn)B移動了多少距離？

⑵ 若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？

⑶ 在⑵的條件下，是否存在某一時刻，△ABC各邊剛好與⊙O都相切？若存在，求出剛好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，能否改變AB、BC沿BA、BC方向的速度，使△ABC各邊剛好與⊙O都相切．

 

Answer 1

【答案】

⑴，⑵6秒，（3）若圓能在△ABC的內(nèi)部時，則存在，4秒；若圓O不能在三角形的內(nèi)部，則不存在，t=

【解析】由切線長定理可知C^’E= C^’D，設(shè)C^’D=x，則C^’E= x，易知C^’F=x

∴x＋x=1   ∴x=－1  ∴CC^’=5－1－(－1)=5－    2分

∴點(diǎn)C運(yùn)動的時間為                 3分

∴點(diǎn)B運(yùn)動的的距離為                   4分

⑵設(shè)一共經(jīng)過了t秒，根據(jù)題意得：2t-5=t+1

t =6

答：一共經(jīng)過了6秒                  6分

⑶∵△ABC與⊙O從開始運(yùn)動到第二次相切時，2t+1=t+5    t =4         7分

∴從開始運(yùn)動到第二次相切的時間為4秒， 此時△ABC移至△A^”B^”C^”處，

A^”B^”=1＋4×=3                                              8分

連接B^”O并延長交A^”C^”于點(diǎn)P，則B^”P⊥A^”C^”，

且OP=＜1        ∴此時⊙O與A^”C^”相交           

∴不存在△ABC各邊與⊙O都相切．                                9分

設(shè)AB、BC沿BA、BC方向的速度為t,則（1+4t）×=1        10分

t=                   11分

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）當(dāng)△ABC第一次與圓相切時，應(yīng)是AC與圓相切．如圖，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長，交B′C′′于F．設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．由切線長定理，以及直角三角形的性質(zhì)可求得CD的值，進(jìn)而求得CC′的值，從而求得點(diǎn)C運(yùn)動的時間，也就有了點(diǎn)運(yùn)動的時間，點(diǎn)B移動的距離也就可求得了．

（2）△ABC與⊙O從開始運(yùn)動到最后一次相切時，應(yīng)為AB與圓相切，路程差為6，速度差為1，故從開始運(yùn)動到最后一次相切的時間為6秒．

（3）若圓能在△ABC的內(nèi)部時，則存在；若圓O不能在三角形的內(nèi)部，則不存在；即求在（2）條件下，AC與圓的位置關(guān)系即可．