Question

9．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與x、y軸交于點B、A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點C、D，CE⊥x軸于點E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定線段的長度以及∠ABO的正切值可求出點C的坐標，結(jié)合點C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合B、C點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式，將一次函數(shù)解析式代入到反比例函數(shù)解析式中得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出D點的橫坐標，將其代入反比例函數(shù)中即可求出D點的坐標，最后再由兩點間的距離公式求出線段CD長度即可．

解答 解：（1）設(shè)該反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{m}{x}$，
∵tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2，
∴CE=$\frac{1}{2}$（OB+OE）=3，
∴點C的坐標為（-2，3）．
∵點C在該反比例函數(shù)圖象上，
∴3=$\frac{m}{-2}$，解得：m=-6．
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$．
（2）∵點B（4，0），點C（-2，3）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{3=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
令y=-$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{6}{x}$，即x²-4x-12=0，
解得：x=-2，或x=6．
∵當x=6時，y=-$\frac{6}{6}$=-1，
即點D的坐標為（6，-1）．
∵點C坐標為（-2，3），
∴CD=$\sqrt{[6-（-2）]^{2}+（-1-3）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點C的坐標；（2）求出點D的坐標．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)給定條件求出點的坐標，再結(jié)合點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．