【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點B的坐標是(﹣1,0),并且OA=OC=4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,寫出點P的坐標(不要求寫解題過程).
【答案】
(1)
解:由B(﹣1,0)可知OB=1,
∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴C(0,4),A(4,0).
設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,
則 ,
解得: ,
則拋物線的解析式是y=﹣x2+3x+4;
(2)
解:存在.
①當以C為直角頂點時,
過點C作CP1⊥AC,交拋物線于點P1,
過點P1作y軸的垂線,垂足是M,M,如圖1.
∵∠A CP1=90°,∴∠MCP1+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP1=∠OAC=45°,
∴∠MCP1=∠MP1C,
∴MC=MP1,
設P(m,﹣m2+3m+4),
則m=﹣m2+3m+4﹣4,
解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴m=2,
此時﹣m2+3m+4=6,
∴P1P的坐標是(2,6).
②當點A為直角頂點時,
過A作AP2⊥AC交拋物線于點P2,
過點P2作y軸的垂線,垂足是N,AP交y軸于點F,如圖2.
∴P2N∥x軸,
由∠CAO=45°得∠OAP2 =45°,
∴∠FP2N=45°,AO=OF.
∴P2N=NF,
設P2(n,﹣n2+3n+4),
則﹣n+4=﹣(﹣n2+3n+4),
解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),
∴n=﹣2,
此時﹣n2+3n+4=﹣6,
∴P2的坐標是(﹣2,﹣6).
綜上所述:P的坐標是(2,6)或(﹣2,﹣6);
(3)
解:當EF最短時,點P的坐標是( ,2)或( ,2).
解題過程如下:
連接OD,由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.
根據(jù)垂線段最短可得:當OD⊥AC時,OD(即EF)最短.
由(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4.
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得:D是AC的中點.
又∵DF∥OC,
∴△AFD∽△AOC,
∴ = =
∴DF= OC=2,
∴點D的縱坐標是2,
∴點P的縱坐標也是2,
解﹣x2+3x+4=2得,
x1= ,x2= ,
∴點P的坐標為( ,2)或( ,2).
【解析】(1)只需求出A、B、C三點的坐標,然后運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式;(2)可分兩種情況(①以C為直角頂點,②以A為直角頂點)討論,然后根據(jù)點P的縱、橫坐標之間的關系建立等量關系,就可求出點P的坐標;(3)連接OD , 易得四邊形OFDE是矩形,則OD=EF , 根據(jù)垂線段最短可得當OD⊥AC時,OD(即EF)最短,然后只需求出點D的縱坐標,就可得到點P的縱坐標,就可求出點P的坐標.
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關知識點,需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC和△CEF是兩個不等的等邊三角形,且有一個公共頂點C,連接AF和BE,線段AF和BE有怎樣的大小關系?證明你的猜想.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂線交AB于點F,⊙O是△BEF的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線.
(2)過點E作EH⊥AB于點H,求證:CD=HF.
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【題目】如圖,以BC為直徑的圓交△ABC的兩邊AB、AC于點D、E,點E恰為AC的中點,BF為△ABC的外角平分線,點F在圓上,請你僅用一把無刻度的直尺,過點A作一條線段,將△ABC分成面積相等的兩部分.
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【題目】如圖,已知A(﹣4,0.5),B(﹣1,2)是一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù) (m<0)圖象的兩個交點,AC⊥x軸于C,BD⊥y軸于D.
(1)根據(jù)圖象直接回答:在第二象限內(nèi),當x取何值時,一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?
(2)求一次函數(shù)解析式及m的值;
(3)P是線段AB上的一點,連接PC,PD,若△PCA和△PDB面積相等,求點P坐標.
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【題目】某公司市場營銷部的營銷員的個人月收入y(元)與該營銷員每月的銷售量x(萬件)成一次函數(shù)關系,其圖象如圖11所示.根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)求出營銷員的個人月收入y(元)與該營銷員每月的銷售量x(萬件)(x≥0)之間的函數(shù)關系式;
(2)已知該公司營銷員李平5月份的銷售量為1.2萬件,求李平5月份的收入.
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【題目】如圖,正△ABC與等腰△ADE的頂點A重合,AD=AE,∠DAE=30°,將△ADE繞頂點A旋轉,在旋轉過程中,當BD=CE時,∠BAD的大小可以是 .
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【題目】如圖,正方形ABFG和正方形CDEF的頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上.
(1)建立平面直角坐標系,使點B,C的坐標分別為(0,0)和(5,0),并寫出點A,D,E,F(xiàn),G的坐標;
(2)連接BE和CG相交于點H,BE和CG相等嗎?并計算∠BHC的度數(shù).
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【題目】如圖甲,四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D,交y軸于點E,連接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求拋物線的解析式及頂點B的坐標;
(2)求證:CB是△ABE外接圓的切線;
(3)試探究坐標軸上是否存在一點P,使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似,若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度(0<t≤3)時,△AOE與△ABE重疊部分的面積為s,求s與t之間的函數(shù)關系式,并指出t的取值范圍.
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