Question

17．探究：如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連結EF，求證：EF=BE+DF．
應用：如圖②，在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，若EF=3，BE=2，則DF=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE′，只要證明△AFE≌△AFE′即可解決問題．
（2）如圖②中，將△ABE繞點A旋轉到△ADE′位置連接E′F．，只要證明△FAE≌△FAE′得EF=FE′，在RT△E′DF中利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖①中，在正方形ABCD中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE′，
∵∠ADF=∠ADE′=90°，
∴點F、D、E′共線，
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AFE和△AFE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFE′，
∵EF=FE′=DE′+DF=DE+DF．
（2）解：如圖②中，因為AB=AD，所以可以將△ABE繞點A旋轉到△ADE′位置，連接E′F．
∵∠B+∠ADF=90°，∠B=∠E′DA，
∴∠E′DF=∠E′DA+′ADF=90°，
∵∠BAE+∠DAF=∠EAF，∠E′AD=∠BAE，
∴∠E′AF=∠EAF，
在△FAE和△FAE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FA}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAE′，
∴EF=FE′=3，
在RT△E′DF中，∵∠E′DF=90°，E′F=3，DE′=BE=2，
∴DF=$\sqrt{FE{′}^{2}-DE{′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為$\sqrt{5}$．

點評 本題科學全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是利用旋轉添加輔助線，這個全等三角形，屬于中考�？碱}型．