Question

如圖，正方形ABCD和正方形CEFG各有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其中A（0，1），B（2，0），E、F兩點(diǎn)同在x軸上，雙曲線y=

k

x

（k＞0）經(jīng)過邊AD的中點(diǎn)P和邊CE的一點(diǎn)Q．
（1）求該雙曲線所表示的函數(shù)關(guān)系式；
（2）探索點(diǎn)Q是否恰為CE的中點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，判斷出△ABO∽△PAH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出HA=1，HP=

1

2

，判斷出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式求出k的值；
（2）易得BE=AO=1，CE=AB=2，若點(diǎn)Q為CE的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，1），當(dāng)x=3時(shí)，代入y=

1

x

得函數(shù)值y=

1

3

≠1，可得點(diǎn)Q不是CE的中點(diǎn)．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H．∵正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，AB=AD=BC．
∵A（0，1），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
∵P為AD的中點(diǎn)，
∴AP：AB=1：2，
∵∠DAB=∠AOB=90°，
∵∠PAH+∠OAB=90°=∠ABO+∠OAB，
∴∠PAH=∠ABO，
∴△ABO∽△PAH，
∴

HA

OB

=

PH

OA

=

PA

AB

，
∴HA=1，HP=

1

2

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

2

，2），
∴代入y=

k

x

，得k=1，
∴該雙曲線所表示的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

x

；

（2）∵AB=BC，∠AOB=∠BEC=90°，
∵∠ABO+∠CBE=∠BCE+∠CBE，
∴∠ABO+∠BCE．
∴BE=AO=1，CE=AB=2，
若點(diǎn)Q為CE的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，1），
當(dāng)x=3時(shí)，代入y=

1

x

得函數(shù)值y=

1

3

≠1，
∴點(diǎn)Q不是CE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及正方形的性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，要注意利用題目所給條件．