Question

如圖，將邊長為4的正方形紙片，置于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB在x軸正方向上，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，M在DC上，將△ADM沿折痕AM折疊，使點(diǎn)D折疊后恰好落在EF上的P點(diǎn)處．
（1）求點(diǎn)M、P的坐標(biāo)；
（2）求折痕AM所在直線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)H為直線AM上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)H，使得以H、A、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依據(jù)題意
∵AP=AD=4，AE=2，
∴EP=．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
設(shè)DM=x，則MP=x，過M作MN⊥EF，垂足為N，
則MN=2，PN=2-x．
在Rt△MNP中，2²+（2-x）²=x²
解之得：x=．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）．

（2）設(shè)折痕AM所在直線的解析式為y=kx（k≠0），則4=k，
k=．
∴折痕AM所在直線的解析式為y=x．

（3）存在；H₁（-2，-2）；H₂（，2）；H₃（2，2）；H₄（2，6）．
分析：（1）根據(jù)勾股定理求出EP的值然后可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．作MN⊥EF．設(shè)DM=x，PN=2-x求出x的值．
（2）設(shè)折痕AM所在直線的解析式為y=kx，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得k值，然后可求解析式．
（3）根據(jù)線段的垂直平分線定理可解．
點(diǎn)評：【命題意圖】此題綜合考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形、線段的垂直平分線等知識．難度中上．