【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)MN取得最大值時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P,使△PBN是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:將點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c中,

得: ,解得: ,

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3


(2)解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2﹣4m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,

把點(diǎn)點(diǎn)B(3,0)代入y=kx+3中,

得:0=3k+3,解得:k=﹣1,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.

∵M(jìn)N∥y軸,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3).

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2,

∴點(diǎn)(1,0)在拋物線的圖象上,

∴1<m<3.

∵線段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣ + ,

∴當(dāng)m= 時(shí),線段MN取最大值,最大值為


(3)解:假設(shè)存在.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n).

當(dāng)m= 時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)為( , ),

∴PB= = ,PN= ,BN= =

△PBN為等腰三角形分三種情況:

①當(dāng)PB=PN時(shí),即 = ,

解得:n= ,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, );

②當(dāng)PB=BN時(shí),即 =

解得:n=± ,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣ )或(2, );

③當(dāng)PN=BN時(shí),即 = ,

解得:n= ,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, )或(2, ).

綜上可知:在拋物線的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)P,使△PBN是等腰三角形,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, )、(2,﹣ )、(2, )、(2, )或(2,


【解析】(1)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo),由此即可得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;(3)假設(shè)存在,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n),結(jié)合(2)的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)N、B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值,從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離,掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減;同軸兩點(diǎn)求距離,大減小數(shù)就為之.與軸等距兩個(gè)點(diǎn),間距求法亦如此.平面任意兩個(gè)點(diǎn),橫縱標(biāo)差先求值.差方相加開平方,距離公式要牢記即可以解答此題.

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