Question

【題目】中點(diǎn)、平行線、等腰直角三角形、等邊三角形都是常見(jiàn)的幾何圖形！

（1）如圖1，若點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°，連接AD、EF，當(dāng)BC=5，F(xiàn)C=2時(shí)，求EF的長(zhǎng)度；

（2）如圖2，若點(diǎn)D為等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°；M為EF的中點(diǎn)，連接CM，當(dāng)DF∥AB時(shí)，證明：3ED=2MC；

（3）如圖3，若點(diǎn)D為等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°；當(dāng)BE=6，CF=0.8時(shí)，直接寫出EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，證得△ADE≌△CDF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng)；

（2）先設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為2，在Rt△BDE中求得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的長(zhǎng)，最后根據(jù)CM與DE的長(zhǎng)度之比求得3ED=2MC；

（3）先延長(zhǎng)FD至G，使得FD=FG，連接EG，BG，過(guò)E作EH⊥BG于點(diǎn)H，根據(jù)△BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8，進(jìn)而在Rt△BEH中求得HE，在Rt△EHG中求得EG，最后根據(jù)ED垂直平分FG，即可得出EF的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）如圖1∵點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn)

∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°，∴AC=CD=5，又∵∠EDF=90°，F(xiàn)C=2

∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=2，∴在Rt△AEF中，EF==

（2）設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為2，則BD=CD=1，

∵等邊三角形ABC中，DF∥AB

∴∠FDC=∠B=60°

∵∠EDF=90°

∴∠BDE=30°

∴DE⊥BE

∴BE=，DE=

如圖2，連接DM，則Rt△DEF中，DM=EF=FM

∵∠FDC=∠FCD=60°

∴△CDF是等邊三角形

∴CD=CF=1

∴CM垂直平分DF

∴∠DCN=30°

∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1

∴在Rt△DEF中，EF==

∵M為EF的中點(diǎn)

∴FM=DM=

∴Rt△MND中，MN=

∴CM=+=

∴==

∴3ED=2MC

（3）如圖3，延長(zhǎng)FD至G，使得FD=DG，連接EG，BG，則ED垂直平分FG，故EF=EG

∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF

∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8

∴∠EBG=60°+60°=120°

∴∠EBH=60°

過(guò)E作EH⊥BG于點(diǎn)H，則BH=BE=3

∴Rt△BEH中，HE==

∴Rt△EHG中，EG==

∴EF的長(zhǎng)度為