Question

（2012•哈爾濱）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB的垂線，交BP的延長線于點(diǎn)M，MN⊥AC于點(diǎn)N，PQ⊥AB于點(diǎn)Q，AQ=MN．
（1）如圖1，求證：PC=AN；
（2）如圖2，點(diǎn)E是MN上一點(diǎn)，連接EP并延長交BC于點(diǎn)K，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，連接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于點(diǎn)H，交BC延長線于點(diǎn)F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的長．

Answer 1

分析：（1）要點(diǎn)是確定一對(duì)全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到PC=PQ；從而得到PC=AN；
（2）要點(diǎn)是按照已知條件，求出線段KC的長度，從而確定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的長度．

解答：（1）證明：證法一：
如圖①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB  MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴AQ=MN，
∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN=PQ  AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分線的性質(zhì)），
∴PC=AN；
證法二：
如圖①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°=∠ANM
∵AQ=MN，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM，PQ=AN，
∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，
∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∵∠APM=∠BPC，
∴∠QPB=∠BPC
∵∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BPC（AAS）
∴PQ=PC，
∴PC=AN．

（2）解：解法一：
如圖②，∵NP=2  PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5  AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=

AM2-AN2

=4
∵∠PAQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=

MN

AN

=

4

3

∵tan∠ABC=

AC

BC

，
∴BC=6
∵NE∥KC，
∴∠PEN=∠PKC，
又∵∠ENP=∠KCP
∴△PNE∽△PCK，
∴

NE

CK

=

NP

PC

，
∵CK：CF=2：3，
設(shè)CK=2k，則CF=3k
∴

NE

2k

=

2

3

，NE=

4

3

k．
過N作NT∥EF交CF于T，則四邊形NTFE是平行四邊形
∴NE=TF=

4

3

k，
∴CT=CF-TF=3k-

4

3

k=

5

3

k
∵EF⊥PM，
∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF，
∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT，
∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC=

BC

PC

=2，
∴tan∠NTC=

NC

CT

=2，
∴CT=

5

3

k=

5

2

，
∴k=

3

2

，
∴CK=2×

3

2

=3，BK=BC-CK=3
∵∠PKC+∠DKB=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，
∴∠BDK=∠PKC，
tan∠PKC=

PC

KC

=1，
∴tan∠BDK=1．
過K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=

4

3

，
∴設(shè)GK=4n，則BG=3n，GD=4n
∴BK=5n=3，
∴n=

3

5

，
∴BD=4n+3n=7n=

21

5

∵AB=

AC2+BC2

=10，AQ=4，
∴BQ=AB-AQ=6
∴DQ=BQ-BD=6-

21

5

=

9

5

．
解法二：
如圖③，∵NP=2，PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=

AM2-AN2

=4
∵NM∥BC，
∴∠NMP=∠PBC
又∵∠MNP=∠BCP，
∴△MNP∽△BCP
∴

MN

BC

=

NP

PC

，
∴

4

BC

=

2

3

BC=6
作ER⊥CF于R，則四邊形NERC是矩形
∴ER=NC=5，NE=CR
∵∠BHE=∠BCR=90°
∴∠EFR=90°-∠HBF∠BPC=90°-∠HBF
∴∠EFR=∠BPC，
∴tan∠EFR=tan∠BPC，
∴

ER

RF

=

BC

PC

，即

5

RF

=

6

3

∴RF=

5

2

，
∵NE∥KC，
∴∠NEP=∠PKC
又∵∠ENP=∠KCP，
∴△NEP∽△CKP，
∴

NE

KC

=

NP

PC

=

2

3

∵CK：CF=2：3，設(shè)CK=2k，CF=3k
∴NE=CR=

4

3

k，CR=CF-RF=3k-

5

2

，
∴3k-

5

2

=

4

3

k
∴k=

3

2

，
∴CK=3  CR=2
∴BK=3
在CF的延長線上取點(diǎn)G，使∠EGR=∠ABC，
∴tan∠EGR=tan∠ABC
∴

ER

RG

=

AC

BC

=

4

3

，
∴RG=

3

4

ER=

15

4

，EG=

ER2+RG2

=

25

4

，KG=KC+CR+RG=

35

4

，
∵∠DKE+∠EKC=∠ABC+∠BDK，∠ABC=∠DKE，
∴∠BDK=∠EKC，
∴△BDK∽△GKE，
∴

BD

KG

=

BK

EG

∴BD•EG=BK•KG，
∴∠BDK=∠EKC，
∴△BDK∽△GKE，
∴BD=

21

5

∵AB=

AC2+BC2

=10，AQ=4，
∴BQ=AB-AQ=6
∴DQ=BQ-BD=6-

21

5

=

9

5

解法三：
如圖④，∵NP=2，PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=

AM2-AN2

=4
∵NM∥BC，
∴∠EMH=∠PBC∠PEN=∠PKC
又∵∠PNE=∠PCK，
∴△PNE∽△PCK，△PNM∽△PCB
∴

NE

CK

=

PN

PC

，

MN

BC

=

PN

PC

，
∵CK：CF=2：3，
設(shè)CK=2k，CF=3k
∴

NE

2k

=

2

3

，

4

BC

=

2

3

，
∴NE=

4

3

k，BC=6
∴BF=6+3k，ME=MN-NE=4-

4

3

k
tan∠ABC=

AC

BC

=

4

3

，BP=

PC2+BC2

=3

5

∴sin∠EMH=sin∠PBC=

PC

BP

=

5

5

∵EF⊥PM，
∴FH=BFsin∠PBC=

5

5

（6+3k）
EH=EMsin∠EMH=

5

5

（4-

4

3

k）
∴tan∠REF=tan∠PBC=

1

2

，
∵tan∠REF=

RF

RE

∴RF=

5

2

∴EF=

ER2+RF2

=

5 5

2

，
∵EH+FH=EF
∴

5

5

（4-

4

3

k）+

5

5

（6+3k）=

5 5

2

，
∴k=

3

2

∴CK=2×

3

2

=3，BK=BC-CK=3
∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK∠DKE=∠ABC，
∴∠BDK=∠PKC
∵tan∠PKC=1，
∴tan∠BDK=1，
過K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=

4

3

∴設(shè)GK=4n，則BG=3n，GD=4n
∴BK=5n=3，
∴n=

3

5

，
∴BD=4n+3n=7n=

21

5

∵AB=

AC2+BC2

=10，AQ=4，
∴BQ=AB-AQ=6，
∴DQ=BQ-BD=6-

21

5

=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，綜合考查了相似三角形、全等三角形、勾股定理、解直角三角形、角平分線性質(zhì)、平行四邊形、矩形等重要知識(shí)點(diǎn)．題干中給出的條件較多，圖形復(fù)雜，難度較大，對(duì)考生能力要求較高；解題時(shí)，需要認(rèn)真分析題意，以圖形的相似、圖形的全等為主線尋找解題思路．解答中提供了多種解題方法，可以開拓思路，希望同學(xué)們認(rèn)真研究學(xué)習(xí)．