Question

9．順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是正方形，則這個四邊形對角線應(yīng)滿足（　�。�

• A． 相等、平分且垂直
• B． 相等且平分
• C． 相等且垂直
• D． 垂直且平分

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中點，易知GF是△ACD的中位線，于是GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，同理可得IG∥BD，IG=$\frac{1}{2}$BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行線性質(zhì)可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易證∠BOC=90°，即AC⊥BD，從而可證四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等．

解答 解：如右圖所示，四邊形ABCD的各邊中點分別是I、E、F、G，且四邊形EFGI是正方形，
∵四邊形EFGI是正方形，
∴∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，
又∵G、F是AD、CD中點，
∴GF是△ACD的中位線，
∴GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有IG∥BD，IG=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
即AC=BD，
∵GF∥AC，∠IGF=90°，
∴∠IHO=90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
故四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等．
故選：C．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接AC、BD，構(gòu)造平行線，掌握正方形的性質(zhì)定理、三角形中位線定理．