Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．則下列結(jié)論：
①若∠MFC=120°，則∠MAB=30°；②∠MPB=90°-∠FCM；③△ABM∽△CEF； ④S_梯形AMCD-2S_△EFC=3S_△MFC，正確的是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：連接DF，MD，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及CF=AD，MF=MA，即可證明△AMD≌△FMD≌△FMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷．
解答：解：連接DF，MD，
①∵ME⊥CD，E為CD中點
∴ME垂直平分CD
∴MC=MD，
在△CMF和△DMA中，
∵，
∴△CMF≌△DMA
∴∠MAD=∠MFC=120°
又∵∠BAD=90°
∴∠MAB=30°
故①正確；
∴AM=2MB
②∵△CMF≌△DMA
∴∠FCM=∠ADM
又∵AD‖BC
∴∠CMD=∠ADM=∠FCM
∵MC=MD，ME為CD邊中垂線
∴ME為∠DMC的角平分線
∴∠BMP=∠CMD=∠FCM
又∵AB⊥BC
∴∠MPB+∠BMP=90°
∴∠MPB=90°-∠FCM
故②正確；
③∵∠AMD=∠DMP=∠EMC，∠EFC=∠FMC+∠FCM
∴∠AMB=∠EFC
∵∠ABM=∠MEC
∴△ABM∽△CEF
故③正確．
④由題意得出：△AMD≌△FMD≌△FMC，
∴S_△AMD=S_△FMD=S_△FMC
∴S_梯形AMCD-S_△AMD-S_△FMD-S_△FMC=S_△DEF+S_△EFC
又∵S_△DEF=S_△EFC
即S_梯形AMCD-3S_△FMC=2S_△EFC
∴S_梯形AMCD-2S_△EFC=3S_△MFC，
故④正確；
故正確的是①②③④．
故選D．
點評：本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì)，注意到△AMD≌△FMD≌△FMC是解決本題的關(guān)鍵．