Question

如圖正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，DA的中點，BE，CF相交于點O，現(xiàn)有四個選擇項（1）BE=CF，（2）BE⊥CF，（3）CE=DF，（4）∠EBC=∠FCD，這四個結(jié)論中，正確的有哪幾個，請任選一個說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：正確的結(jié)論有（1），（2），（3），（4）．
理由如下：由四邊形ABCD為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)（四條邊相等，四個角都是直角）可得：AD=BC=CD，∠CDF=∠BCE=90°，又根據(jù)題中已知E，F(xiàn)分別為CD，DA的中點，得到一對短直角邊的相等，得到了結(jié)論（3）的正確，同時根據(jù)“SAS”證得了三角形BCE和三角形CDF的全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得到結(jié)論（1）的正確；再根據(jù)全等三角形的對應角也相等即可得到結(jié)論（4）正確，根據(jù)結(jié)論（4）中∠EBC=∠FCD，及∠FCD+∠BCO=90°，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想可得∠EBC+∠BCO=90°，再利用三角形的內(nèi)角和為180度，可得出∠BOC=90°，從而說明BE⊥CF，結(jié)論（2）正確．
解答：解：正確的結(jié)論有（1），（2），（3），（4）．
選一種證明就行如：選（1）結(jié)論為：BE=CF，
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=BC=CD，∠CDF=∠BCE=90°，
又∵E，F(xiàn)分別為CD，DA的中點，
∴DF=AD，CE=CD，
∴DF=CE，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，

∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴BE=CF．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，是一道結(jié)論開放型題，此類題是思維的發(fā)散，也是思維的開放，有三個特點：1、試題內(nèi)容的新穎性；2、問題形式的生動性；3、問題解決的發(fā)散性，要求學生綜合運用觀察、想象，實驗、類比、分類、歸納、猜想、推理、概括等思維方式，同時探索多個解題方向，運用創(chuàng)造性思維，獲得多種途徑，最終解決問題．