Question

如圖1，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，連接AF、CE．
（1）求證：△BEC≌△DFA；
（2）連接AC，當CA=CB時，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．如圖2，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點，CE=AF． 請你猜想：BE與DF有怎樣的位置關系和數(shù)量關系？并對你的猜想加以證明．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵E、F分別是AB、CD的中點，
∴BE=AB，DF=CD，
在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（SAS）；

（2）四邊形AECF是矩形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵BE=DF，
∵AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CA=CB，E是AB的中點，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

猜想：BE=DF，且BE∥DF；
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△BCE≌△DAF（SAS）．
∴BE=DF，∠AFD=∠CEB．
∴BE∥DF．
∴BE=DF，且BE∥DF．
分析：（1）由在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，利用SAS即可判定：△BEC≌△DFA；
（2）易證得四邊形AECF是平行四邊形，又由CA=CB，E是AB的中點，解得CE⊥AB，繼而證得四邊形AECF是矩形；
易證得△ADF≌△CBE，則可證得BE=DF，BE∥DF．
點評：此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及矩形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．