已知:在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,以C為圓心,CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E,交精英家教網(wǎng)AD于點F,交AE于點M,且∠B=∠CAE,F(xiàn)E:FD=4:3.
(1)求證:AF=DF;
(2)求∠AED的余弦值;
(3)如果BD=10,求△ABC的面積.
分析:(1)欲證AF=DF,可以證明△AEF≌△DEF得出;
(2)求∠AED的余弦值,即求ME:DM,由已知條件,勾股定理,切割線定理的推論可以求出;
(3)根據(jù)△ABC的面積公式求出BC,AN的長是關(guān)鍵,根據(jù)題意由三角函數(shù)及相似比即可求出.
解答:(1)證明:∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE精英家教網(wǎng)
∴EA=ED
∵DE是半圓C的直徑
∴∠DFE=90°
∴AF=DF(2分)

(2)解:連接DM
∵DE是半圓C的直徑
∴∠DME=90°
∵FE:FD=4:3
∴可設(shè)FE=4x,則FD=3x
∴DE=5x
∴AE=DE=5x,AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x(3x+3x)=AM•5x
∴AM=
18
5
x
∴ME=AE-AM=5x-
18
5
x=
7
5
x
在Rt△DME中,cos∠AED=
ME
DE
=
7
5
x
5x
=
7
25
(5分)

(3)解:過A點作AN⊥BE于N
∵cos∠AED=
7
25

∴sin∠AED=
24
25

∴AN=
24
25
AE=
24
5
x
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE
AE
BE
=
CE
AE

∴AE2=BE•CE
∴(5x)2=(10+5x)•
5
2
x
∴x=2
∴AN=
24
5
x=
48
5

∴BC=BD+DC=10+
5
2
×2=15
∴S△ABC=
1
2
BC•AN=
1
2
×15×
48
5
=72(8分).
點評:本題考查相似三角形的判定,切割線定理,勾股定理,圓周角定理等知識點的綜合運用.
練習冊系列答案
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25、已知:在△ABC中AB=AC,點D在CB的延長線上.
求證:AD2-AB2=BD•CD.

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精英家教網(wǎng)(1)化簡:(a-
1
a
)÷
a2-2a+1
a
;
(2)已知:在△ABC中,AB=AC.
①設(shè)△ABC的周長為7,BC=y,AB=x(2≤x≤3).寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖,點D是線段BC上一點,連接AD,若∠B=∠BAD,求證:△BAC∽△BDA.

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20、如圖,已知,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點M,ME∥AB交BC于點E,MF∥AC交BC于點F.求證:△MEF的周長等于BC的長.

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12、已知,在△ABC中,AB=AC=x,BC=6,則腰長x的取值范圍是
x>3

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已知:在△ABC中,∠B<∠C,AD平分∠BAC,AE⊥BC,垂足為點E.∠B=38°,∠C=70°.
①求∠DAE的度數(shù);
②試寫出∠DAE與∠B、∠C之間的一般等量關(guān)系式(只寫結(jié)論)

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