【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+ca0的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過(guò)A1,0,C0,3兩點(diǎn),拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B.

1若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),求直線BC和拋物線的解析式;

2設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1y=x+3, y=﹣x2﹣2x+3;2﹣1,﹣2﹣1,4﹣1, ﹣1,

【解析】

試題分析:1首先由題意根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用交點(diǎn)式,求得拋物線的解析式;再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式;

2首先利用勾股定理求得BC,PB,PC的長(zhǎng),然后分別從點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)去分析求解即可求得答案.

試題解析:1拋物線y=ax2+bx+ca0的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過(guò)A1,0,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B,

B的坐標(biāo)為:﹣3,0

設(shè)拋物線的解析式為:y=ax﹣1)(x+3,

把C0,3代入,﹣3a=3,

解得:a=﹣1,

拋物線的解析式為:y=﹣x﹣1)(x+3=﹣x2﹣2x+3;

把B﹣3,0,C0,3代入y=mx+n得:

解得:,

直線y=mx+n的解析式為:y=x+3;

2設(shè)P﹣1,t,

B﹣3,0,C0,3

BC2=18,PB2=﹣1+32+t2=4+t2,PC2=﹣12+t﹣32=t2﹣6t+10,

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),則BC2+PB2=PC2,

即:18+4+t2=t2﹣6t+10,解之得:t=﹣2;

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則BC2+PC2=PB2

即:18+t2﹣6t+10=4+t2,解之得:t=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則PB2+PC2=BC2,

即:4+t2+t2﹣6t+10=18,

解之得:t1=,t2=;

綜上所述P的坐標(biāo)為﹣1,﹣2﹣1,4﹣1, ﹣1,

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