(2013•徐州模擬)如圖1,在正方形ABCD內(nèi)有一點P滿足AP=AB,PB=PC,連接AC、PD.
(1)求證:△APB≌△DPC;
(2)求證:∠PAC=∠BAP;
(3)若將原題中的正方形ABCD變?yōu)榈妊菪蜛BCD(如圖2),AD∥BC,且BA=AD=DC,形內(nèi)一點P仍滿足AP=AB,PB=PC,試問(2)中結(jié)論還成立嗎?若成立請給予證明;若不成立,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)全等三角形的判定定理可解.
(2)設∠PAC=x°,∠BAP=y°,可求出∠CAD=∠DCA=(60-x)°,∠PDC=y°,根據(jù)這個關系求出∠PAC=∠BAP.
(3)以D為圓心,DA為半徑畫圓,連接各線,再求出各角之間的關系即可.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=CD,
∵BP=PC,
∴∠PBC=∠PCB,
∴∠ABP=∠DCP,
又∵AB=CD,BP=CP,
∴△ABP≌△DCP(SAS).

(2)設∠PAC=x°,∠BAP=y°,則∠CAD=∠DCA=(60-x)°,∠PDC=y°.
由圖形得,x+60=y+60-x,
∴y=2x,
∴∠PAC=∠BAP.

(3)以D為圓心,DA為半徑畫圓,設∠PAC=x°,∠BAP=y°,
則∠CAD=∠DCA=(60-x)°,∠PDC=y°.
由圖形得,x+60=y+60-x,
∴y=2x,
∴∠PAC=∠BAP.
點評:本題難度較大,綜合了全等三角形的判定定理,等腰梯形以及圓的有關知識.
練習冊系列答案
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(1)結(jié)合以上信息及圖2填空:圖2中的m=
2
5
2
5

(2)求B、C兩點的坐標及圖2中OF的長;
(3)若OM是∠AOB的角平分線,且點G與點H分別是線段AO與射線OM上的兩個動點,直接寫出HG+AH的最小值,請在圖3中畫出示意圖并簡述理由.

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(1)求港口A到海島B的距離;
(2)B島建有一座燈塔,在離燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見燈塔,問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔?

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同步練習冊答案
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