Question

已知△ABC，CF是AB邊的中線，DF⊥AB與∠ACB的鄰補角的角平分線交于點D
（1）如圖（1），當∠ACB=60°時，求證：AC+CD=BC；
（2）如圖（2），當∠ACB=90°時，寫出線段CD、AC和BC的數(shù)量關(guān)系______，并證明你的猜想．

Answer 1

（1）證明：如圖（1）過D作DM⊥AE于點M，DN⊥CB于點N，連接AD，BD，

∵CD為∠ECB的平分線，DM⊥AE，DN⊥CB，
∴DM=DN，又CD=CD，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CM=CN，
又∵F為AB中點，DF⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AMD和Rt△BND中，
∵，
∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），
∴AM=BN，
∵∠ACB=60°，CD為∠ECB平分線，
∴∠MCD=∠NCD=60°，
在Rt△CND中，∠CDN=30°，
可得CD=2CN，
同理CD=2CM，
∴CD=2CM=CM+CN，
∴BC=BN+CN=AC+CM+CN=AC+CD；

（2）AC+CD=BC，理由為：
證明：如圖（1）過D作DM⊥AE于點M，DN⊥CB于點N，連接AD，BD，
∵CD為∠ECB的平分線，DM⊥AE，DN⊥CB，
∴DM=DN，又CD=CD，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CM=CN，
又∵F為AB中點，DF⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AMD和Rt△BND中，
∵，
∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），
∴AM=BN，
∵∠ACB=90°，CD為∠ECB平分線，
∴∠MCD=∠NCD=45°，
在Rt△CND中，可得CD=CN，
同理CD=CM，
∴CD=（CM+CN），即CM+CN=CD，
∴BC=BN+CN=AC+CM+CN=AC+CD．
分析：（1）如圖（1）過D作DM垂直于AE，DN垂直于CB，連接AD，BD，由CD為角平分線，利用角平分線定理得到DM=DN，再由CD為公共邊，利用HL得到直角三角形CDM與直角三角形CDN全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出CM=CN，由F為AB的中點，DF垂直于AB，得到DF為AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線定理得到AD=BD，由DM=DN，AD=BD，利用HL得到直角三角形ADM與直角三角形BDN全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AM=BN，由∠ACB為60°，得到∠DCN=∠DCM=60°，在直角三角形CND中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出CD=2CN，同理CD=2CM，由BC=BN+CN，等量代換可得證；
（2）AC+CD=BC，理由為：如圖（2）過D作DM垂直于AE，DN垂直于CB，連接AD，BD，由CD為角平分線，利用角平分線定理得到DM=DN，再由CD為公共邊，利用HL得到直角三角形CDM與直角三角形CDN全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出CM=CN，由F為AB的中點，DF垂直于AB，得到DF為AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線定理得到AD=BD，由DM=DN，AD=BD，利用HL得到直角三角形ADM與直角三角形BDN全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AM=BN，由∠ACB為90°，得到∠DCN=∠DCM=45°，在直角三角形CND中，銳角三角函數(shù)定義可得出CD=CN，同理CD=CM，由BC=BN+CN，等量代換可得證．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的數(shù)學思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．