Question

如圖在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，BF=

1

4

AB
（1）求證：△BEF∽△CDE；
（2）連DF，作EH⊥DF，求證：EH²=FH•DH．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)易證得∠B=∠C=90°，AB=CD，所以

BF

CE

=

BE

CD

=

1

2

，則根據(jù)相似三角形的判定定理可以證得結(jié)論；
（2）由（1）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等易證得EF⊥DE．則根據(jù)射影定理易證得結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖，∵在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，BF=

1

4

AB，
∴∠B=∠C=90°，

BF

CE

=

BE

CD

=

1

2

，
∴△BEF∽△CDE；

（2）證明：由（1）知，△BEF∽△CDE，則∠BEF=∠CDE．
∵∠BEF+∠BFE=∠CED+∠CDE=90°，
∴∠BEF+∠CED=90°，
∴∠FED=90°．
又∵EH⊥DF，
∴EH²=FH•DH．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長(zhǎng)度用同一線段來表示是求線段是否成比例是常用的方法．