Question

7．如圖，點E是平行四邊形ABCD的邊AB上的任意一點（不包含端點A，B），分別連接AC，CE，以CE為邊作菱形ECFG，再連接BG，已知AB=AC，∠CEG=∠CAB，則下列結(jié)論①EG⊥BC，②∠EGB=∠F，③∠CBG=∠CAB，④∠GEB=∠ACE中，一定成立的有②③④（填序號）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件可以分別證明②③④正確，①可以假設(shè)結(jié)論成立，推出矛盾即可解決問題．

解答 解：如圖，連接CG．
∵四邊形ECFG是菱形，
∴EC=EG，EG∥CF，
∴∠ECG=∠EGC，∠EGB=∠F，故②正確，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠CEG=∠CAB，
∴∠CEG+2∠ECG=180°，∠BAC+2∠ACB=180°，
∴∠ACB=∠ECG，
∴∠ACE=∠BCG，
∵∠BEC=∠CAB+∠ACE，∠CEG=∠BAC，
∴∠BEG=∠ACE，故④正確，
∵∠BCG=∠ACE=∠BEG，
∴C、G、B、E四點共圓，
∴∠CBG∠CEG=∠CAB，故③正確，
∴∠ECB=∠EGB=∠CEG，
如果EG⊥BC，那么∠ECB=∠CEG=45°，這顯然不可能，故①錯誤．
∴②③④正確．
故答案為②③④．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是利用四點共圓的性質(zhì)，題目比較難，屬于中考�？碱}型．