Question

15．如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{3}{x}$相交于點(diǎn)A，B，與x軸相交于點(diǎn)C，矩形DEFG的端點(diǎn)D在直線AB上，E，F(xiàn)在x軸上，點(diǎn)G在雙曲線上，若DE=$\frac{3}{2}$，CE=2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1．
（1）求點(diǎn)A，G的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)結(jié)合DE=$\frac{3}{2}$，可知點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，分別令雙曲線y=$\frac{3}{x}$中x=1、y=$\frac{3}{2}$，即可求出點(diǎn)A、G的坐標(biāo)；
（2）分別令直線y=kx+b中y=0、y=$\frac{3}{2}$，求出點(diǎn)C、E的橫坐標(biāo)，結(jié)合線段CE=2即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出k值，將k值和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到直線y=kx+b中得出關(guān)于b的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵DE=$\frac{3}{2}$，且四邊形DEFG為矩形，
∴GF=DE=$\frac{3}{2}$．
令雙曲線y=$\frac{3}{x}$中x=1，則y=$\frac{3}{1}$=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）；
令雙曲線y=$\frac{3}{x}$中y=$\frac{3}{2}$，則$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{x}$，解得：x=2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）．
（2）令直線y=kx+b中y=$\frac{3}{2}$，則$\frac{3}{2}$=kx+b，解得：x=$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$，0）；
令直線y=kx+b中y=0，則0=kx+b，解得：x=-$\frac{k}$，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{k}$，0）．
∵CE=$\frac{\frac{3}{2}-b}{k}$-（-$\frac{k}$）=2，
∴$\frac{3}{2}$=2k，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+b，
∵點(diǎn)A（1，3）在直線AB上，
∴3=$\frac{3}{4}$+b，解得：b=$\frac{9}{4}$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、解一元一次方程以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；（2）分別找出關(guān)于k和關(guān)于b的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，（2）稍顯繁瑣，初中階段沒有學(xué)到直線的斜率，故此處通過求點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo)結(jié)合線段CE的長度來求出k值．