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【題目】已知ABC中,∠ACB90°,將AB邊繞點B順時針旋轉90°得線段BD.過點DDMBCBC延長線于M,

1)如圖1,請判斷線段AC、CM、MD的數量關系并說明理由;

2EDM延長線上一點,當點E為如圖2所示的位置時,以AE為斜邊向右側作等腰RtAFE,再過點FFNDMN,探究BM、FN、MN三條線段的數量關系,并說明理由;

3)在問題(2)的條件下,當點E運動到某一位置時點B、AF三點恰好在同一直線上,取DE中點P,連接AP,且AB3,AF1,請直接寫出AP的值.

【答案】1ACMD+MC,理由見解析;(2MNFN+BM,理由見解析;(3

【解析】

1)由旋轉的性質可得AB=BD,∠ABD=90°,由“AAS”可證△ABC≌△BDM,可得AC=BM,BC=MD,可證AC=MD+MC
2)如圖2,延長NFCA交于點H,可證四邊形HCMN是矩形,可得MN=HC,∠H=90°,由“AAS”可證△AFH≌△FEN,可得AH=FN,可得結論;
3)如圖3,過點AAGMN,由相似三角形的性質可得BC=3HFAC=3AH,由勾股定理可求HF、AH、PE,再利用勾股定理即可求得答案.

1AC=MD+MC

理由如下:

∵將AB邊繞點B順時針旋轉90°得線段BD,

AB=BD,∠ABD=90°,

∴∠ACB=∠ABD=90°,

∴∠A+ABC=90°,∠ABC+DBM=90°,

∴∠A=∠DBM

在△ABC和△BDM中,

,

∴△ABC≌△BDMAAS

AC=BMBC=MD,

BM=BC+CM,

AC=MD+MC

2MN=FN+BM,

理由如下:

如圖2,延長NF,CA交于點H

∵∠ACM=∠BMN=90°,FNMN,

∴四邊形HCMN是矩形,

MN=HC,∠H=90°HN=CM,

∵△AEF是等腰直角三角形,

AF=EF,∠AFE=90°=∠H,

∴∠HFA+HAF=90°,∠HFA+NFE=90°,

∴∠NFE=∠HAF,

在△AFH和△FEN中,

,

∴△AFH≌△FENAAS

AH=FN,

MN=HC=AC+AH

MN=FN+BM;

3)如圖3,延長NFCA交于點H,過點AAGMN

∵∠ACM=∠BMN=90°,FNMNAGMN,

∴四邊形HCMN、ACMGAGNH是矩形,

AG=HN,AH=NG,MN=CH

FNMN,DMBC,

NHBM

∴△ABC∽△AFH,

,

BC=3HF,AC=3AH

(2)得:CM=HN,AH=FNFH=EN,AC=BM,

ACBC= BMBC=CM=HN=FH+FN

3AH3HF=HF+AH,

AH=2HF

AH2+HF2=AF2=1,

HF=AH=,

HN=BC==MD,AC=MN=CH= AC+ AH=,

DE=MD+MNNE=

∵點PDE中點,

PE=

AG=HN=,AH=NG=,

EG= NG- EN= NG- HF=

GP=EPEG=,

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