Question

11．如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
（1）不添加任何輔助線和字母，寫出一對(duì)相似三角形，并加以證明；
（2）若AE=4，AD=3，∠BAF=30°，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）可通過(guò)證明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，證得△ABF∽△EAD；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BE⊥AB，解直角三角形得到AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，通過(guò)三角形相似即可得到結(jié)論．

解答 （1）△ABF∽△EAD，
證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥DC，
∴BE⊥AB，
∵∠BAE=30°，AE=4，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{3}{BF}=\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)也用到了平行四邊形的性質(zhì)和等角的補(bǔ)角相等等知識(shí)點(diǎn)．