(2007•欽州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一底角為60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x軸的正半軸上,A為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,0),對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC,一動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由B→D運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與B,D重合).過(guò)P作PE⊥BD交AB于點(diǎn)E,交線(xiàn)段BC(或CD)于點(diǎn)F.
(1)用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段AD的長(zhǎng)是______;
(2)當(dāng)直線(xiàn)PE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),它的解析式為y=x-2,求m的值;
(3)在上述結(jié)論下,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),△AEF的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;并寫(xiě)出t為何值時(shí),S取得最大值,最大值是多少?

【答案】分析:(1)根據(jù)條件可以證明∠ADB=90°,而∠ABD=30°,則AD=AB.
(2)當(dāng)直線(xiàn)PE過(guò)點(diǎn)C時(shí),易證△CEB為等邊三角形,因而C的坐標(biāo)可以用m表示出來(lái),把C的坐標(biāo)代入函數(shù)y=x-2就可以求出m的值.
(3)本題應(yīng)分點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上和點(diǎn)F在線(xiàn)段DC上兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上,△FEB為等邊三角形;而點(diǎn)F在線(xiàn)段DC上時(shí),△FEB的面積S=AE•FG.而AE、FG可以用t表示出來(lái).因而就可以得到函數(shù)解析式.則求面積的最值的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
解答:解:(1).(3分)

(2)如圖①,當(dāng)直線(xiàn)PE過(guò)點(diǎn)C時(shí),解析式為:y=x-2
令y=0,得0=x-2
解得x=2.
∴點(diǎn)E(2,0).(5分)
∵∠DAB=∠ABC=60°,BD平分∠ABC.
∴∠ADB=180°-60°-30°=90°,
∵EP⊥BD,
∴EP∥AD.
∴∠CEB=∠DAB=∠ABC=60度.
∴△CEB為等邊三角形.
∴EB=BC=AD=m.
∵AB=m,
∴AE=m=2,
∴m=4.(7分)

(3)由m=4,可知B(4,0),D(1,),C(3,),
在Rt△BPE中,=t.
∴AE=4-t.(8分)
過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.
下面分兩種情況:
①點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上,如圖②.
∵△FEB為等邊三角形,
∴FG=BP=t.
∴S=AE•FG=(4-t)•t=-+2t=-(t-2+(0<t≤).(10分)
②點(diǎn)F在線(xiàn)段DC上,如圖③,則
∴S=AE•FG=•(4-t)•=-t+<t≤2)(11分)
綜合①,②得:當(dāng)t=時(shí),S最大=.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要是函數(shù)與梯形的性質(zhì)相結(jié)合的問(wèn)題.難度比較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年河南省高級(jí)中等學(xué)校招生七地市聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2007•欽州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一底角為60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x軸的正半軸上,A為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,0),對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC,一動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由B→D運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與B,D重合).過(guò)P作PE⊥BD交AB于點(diǎn)E,交線(xiàn)段BC(或CD)于點(diǎn)F.
(1)用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段AD的長(zhǎng)是______;
(2)當(dāng)直線(xiàn)PE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),它的解析式為y=x-2,求m的值;
(3)在上述結(jié)論下,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),△AEF的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;并寫(xiě)出t為何值時(shí),S取得最大值,最大值是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2007年廣西欽州市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2007•欽州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一底角為60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x軸的正半軸上,A為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,0),對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC,一動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由B→D運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與B,D重合).過(guò)P作PE⊥BD交AB于點(diǎn)E,交線(xiàn)段BC(或CD)于點(diǎn)F.
(1)用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段AD的長(zhǎng)是______;
(2)當(dāng)直線(xiàn)PE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),它的解析式為y=x-2,求m的值;
(3)在上述結(jié)論下,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),△AEF的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;并寫(xiě)出t為何值時(shí),S取得最大值,最大值是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2007年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《三角形》(06)(解析版) 題型:填空題

(2007•欽州)如圖,已知菱形ABCD,E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連接DE交BC于點(diǎn)F,在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件,使△CDF≌△BEF,這個(gè)條件是   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)原創(chuàng)試卷大賽(12)(解析版) 題型:選擇題

(2007•欽州)如圖所示,幾何體的主視圖是( )

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案