Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過第二象限內(nèi)的點A（-2，2），若直線y=ax+b經(jīng)過點A，并且經(jīng)過反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點B（m，-1），與x軸交于點M．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和直線y=ax+b解析式．
（2）若點C的坐標是（0，-2），求△CAB的面積．
（3）在x軸上是否存在一點P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將點A（-2，2）代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

k

x

，求出k=-4，再由反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點B（m，-1），得到m=4，然后將A、B兩點的坐標代入直線y=ax+b，運用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；
（2）設一次函數(shù)y=-

1

2

x+1與y軸的交點為N，先求出N點坐標，再根據(jù)S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC，即可求解；
（3）分三種情況討論：①以O為頂點，OA為腰；②以A為頂點，AO為腰；③以P為頂點，即以AO為底，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及已知條件即可求解．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過第二象限內(nèi)的點A（-2，2），
∴2=

k

-2

，
解得k=-4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

4

x

．
∵點B（m，-1）經(jīng)過反比例函數(shù)y=-

4

x

的圖象上，
∴-1=-

4

m

，
解得m=4，
∴點B坐標為（4，-1）．
∵點A（-2，2）、點B（4，-1）經(jīng)過直線y=ax+b，
∴

-2a+b=2 4a+b=-1

，
解得

a=- 1 2 b=1

．
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x+1；

（2）設一次函數(shù)y=-

1

2

x+1與y軸的交點為N（0，1），則ON=1．
∵C點坐標為（0，-2），
∴OC=2，
∴S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC=

1

2

×3×2+

1

2

×3×4=9；

（3）在x軸上存在點P，能使△PAO為等腰三角形．理由如下：
過A點作AD⊥x軸于D．
∵點A（-2，2），
∴OA=

OC2+AC2

=

(-2)2+22

=2

2

．
分三種情況：
①以O為頂點，OA為腰，則OP=OA=2

2

．
∵點P在x軸上，
∴P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0）；
②以A為頂點，AO為腰，則AP=AO，
又∵AD⊥x軸，
∴AD為底邊OP的垂直平分線，
∴OP=2OD=2×2=4，
∵點P在x軸上，
∴P₃（-4，0）；
③以P為頂點，即以AO為底，作AO的垂直平分線交x軸于點P．
∵Rt△ADO中，AD=OD=2，
∴D在OA的垂直平分線上，
∴D與P重合，
∴P₄（-2，0）．
綜上可知，在x軸上存在點P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0），P₃（-4，0），P₄（-2，0），能使△PAO為等腰三角形．

點評：本題是反比例函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積的求法，等腰三角形的性質(zhì)，第三問進行分類討論是解題的關鍵．