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如圖所示,已知拋物線的圖象與y軸相交于點B(0,1),點C(m,n)在該拋物線圖象上,且以BC為直徑的⊙M恰好經過頂點A.
(1)求k的值;
(2)求點C的坐標;
(3)若點P的縱坐標為t,且點P在該拋物線的對稱軸l上運動,試探索:
①當S1<S<S2時,求t的取值范圍(其中:S為△PAB的面積,S1為△OAB的面積,S2為四邊形OACB的面積);
②當t取何值時,點P在⊙M上.(寫出t的值即可)

【答案】分析:(1)由于拋物線的圖象經過點B,那么點B的坐標滿足該拋物線的解析式,將其代入即可求得k的值.
(2)若⊙M經過點A,則∠BAC必為直角(圓周角定理),過C作x軸的垂線,設垂足為D,那么△BAO∽△ACD,可設出點C的坐標,根據相似三角形所得比例線段,即可得到點C橫、縱坐標的關系式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求得C點的坐標.
(3)①由于O、A、B、C四點的坐標已經確定,所以S1、S2都可求出,△ABP中,以|t|為底,B點橫坐標為高,即可得到S,即S=|t|××2=|t|,因此S1<|t|<S2,將S1、S2的值代入上式,然后求出t的取值范圍.(注意t應該分正、負兩種情況考慮)
②若P在⊙M上,∠BPC=90°,即△BPC是直角三角形,可用坐標系兩點間的距離公式求出△BPC的三邊長,然后利用勾股定理求出t的值.
解答:解:(1)∵點B(0,1)在的圖象上,
,(2分)
∴k=1.(3分)

(2)由(1)知拋物線為:

∴頂點A為(2,0),(4分)
∴OA=2,OB=1;
過C(m,n)作CD⊥x軸于D,則CD=n,OD=m,
∴AD=m-2,
由已知得∠BAC=90°,(5分)
∴∠CAD+∠BAO=90°,又∠BAO+∠OBA=90°,
∴∠OBA=∠CAD,
∴Rt△OAB∽Rt△DCA,
=,即=(或tan∠OBA=tan∠CAD,,即),(6分)
∴n=2(m-2);
又∵點C(m,n)在上,

,
即8(m-2)(m-10)=0,
∴m=2或m=10;當m=2時,n=0,當m=10時,n=16;(7分)
∴符合條件的點C的坐標為(2,0)或(10,16).(8分)

(3)①依題意得,點C(2,0)不符合條件,
∴點C為(10,16)
此時
S2=SBODC-S△ACD=21;(9分)
又∵點P在函數(shù)圖象的對稱軸x=2上,
∴P(2,t),AP=|t|,
=|t|(10分)
∵S1<S<S2,
∴當t≥0時,S=t,
∴1<t<21.(11分)
∴當t<0時,S=-t,
∴-21<t<-1
∴t的取值范圍是:1<t<21或-21<t<-1(12分)
②t=0,1,17(14分)
點評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理、圖形面積的求法、不等式以及相似三角形的性質等相關知識,綜合性強,難度較大.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.
(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG⊥x軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似?若存在,請求出M點的坐標;否則,請說明理由.

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如圖所示,已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A,B兩點,C為拋物線的頂點,過點A作AP∥精英家教網BC交拋物線于點P.
(1)求A,B,C三點坐標;
(2)求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在點M,過點M作ME⊥x軸于點E,使A,M,E三點為頂點的三角形與△PCA相似?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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精英家教網如圖所示,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過原點和點(-2,0),則2a-3b
 
0.(>、<或=)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0),拋物線的對稱軸x=2交x軸于點E.
(1)求交點A的坐標及拋物線的函數(shù)關系式;
(2)在平面直角坐標系xOy中是否存在點P,使點P與A,B,C三點構成一個平行四邊形?若存在,請直接寫出點P坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接CB交拋物線對稱軸于點D,在拋物線上是否存在一點Q,使得直線CQ把四邊形DEOC分成面積比為1:7的兩部分?若存在,請求出點Q坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•衡陽)如圖所示,已知拋物線的頂點為坐標原點O,矩形ABCD的頂點A,D在拋物線上,且AD平行x軸,交y軸于點F,AB的中點E在x軸上,B點的坐標為(2,1),點P(a,b)在拋物線上運動.(點P異于點O)
(1)求此拋物線的解析式.
(2)過點P作CB所在直線的垂線,垂足為點R,
①求證:PF=PR;
②是否存在點P,使得△PFR為等邊三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
③延長PF交拋物線于另一點Q,過Q作BC所在直線的垂線,垂足為S,試判斷△RSF的形狀.

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