Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于點(diǎn)E，⊙O的半徑為4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，則AE=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)圓周角定理、等邊三角形的判定、等腰直角三角形的判定進(jìn)行求解．
解答：解：連接OA、OC、OB，OC交于BD點(diǎn)F，
∵AC平分∠BAD交BD于點(diǎn)E，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
由圓周角定理知，弧BC=弧CD，∠BOC=60°，
∴BC=CD，∠CBD=∠BDC=30°，
又∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∠BOC=60°，
∵∠ACB=15°，
∴∠AOB=30°，∠ADF=15°，∠AOC=90°
∵OA=OC=4，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC==4，
∵點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，
∴OC⊥BD，
∵∠CBD=30°，∠CBO=60°
∴∠OBF=∠CBF=30°，
∴△BFO≌△BFC，
∴OF=CF，即點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)，
∵AO∥BD，
∴△CEF∽△CAO，且相似比為CF：CO=1：2，
∴CE：CA=1：2，
則AE=AC=2．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了圓周角定理，等腰直角三角形和等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)求解．