(2012•東營)如圖,一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=
4
x
的圖象相交于C,D兩點(diǎn),分別過C,D兩點(diǎn)作y軸,x軸的垂線,垂足為E,F(xiàn),連接CF,DE.有下列四個(gè)結(jié)論:
①△CEF與△DEF的面積相等;
②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;
④AC=BD.
其中正確的結(jié)論是( 。
分析:設(shè)D(x,
4
x
),得出F(x,0),根據(jù)三角形的面積公式求出△DEF的面積,同法求出△CEF的面積,即可判斷①;根據(jù)面積相等,推出邊EF上的高相等,推出CD∥EF,即可證出△AOB∽△FOE,可判斷②;算出C、D點(diǎn)坐標(biāo),可得到DF=CE,再證出∠DCE=∠FDA=45°,根據(jù)全等三角形的判定判斷③即可;證出平行四邊形BDFE和平行四邊形ACEF,可推出BD=AC,判斷④即可.
解答:解:①設(shè)D(x,
4
x
),則F(x,0),
由圖象可知x>0,
∴△DEF的面積是:
1
2
×|
4
x
|×|x|=2,
設(shè)C(a,
4
a
),則E(0,
4
a
),
由圖象可知:
4
a
<0,a>0,
△CEF的面積是:
1
2
×|a|×|
4
a
|=2,
∴△CEF的面積=△DEF的面積,
故①正確;

②△CEF和△DEF以EF為底,則兩三角形EF邊上的高相等,
故EF∥CD,
∴FE∥AB,
∴△AOB∽△FOE,
故②正確;

③∵C、D是一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù)y=
4
x
的圖象的交點(diǎn),
∴x+3=
4
x

解得:x=-4或1,
經(jīng)檢驗(yàn):x=-4或1都是原分式方程的解,
∴D(1,4),C(-4,-1),
∴DF=4,CE=4,
∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),
∴A(-3,0),B(0,3),
∴∠ABO=∠BAO=45°,
∵DF∥BO,AO∥CE,
∴∠BCE=∠BAO=45°,∠FDA=∠OBA=45°,
∴∠DCE=∠FDA=45°,
在△DCE和△CDF中
DF=CE
∠FDC=∠ECD
DC=CD

∴△DCE≌△CDF(SAS),
故③正確;

④∵BD∥EF,DF∥BE,
∴四邊形BDFE是平行四邊形,
∴BD=EF,
同理EF=AC,
∴AC=BD,
故④正確;
正確的有4個(gè).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,三角形的面積,全等三角形的判定,相似三角形的判定,檢查同學(xué)們綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力,關(guān)鍵是需要同學(xué)們牢固掌握課本知識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:OD∥BE;
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測(cè)到城市P位于該船的南偏西36.9°方向,求此時(shí)輪船所處位置B與城市P的距離?(參考數(shù)據(jù):sin36.9°≈
3
5
,tan36.9°≈
3
4
,sin67.5°≈
12
13
,tan67.5°≈
12
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•東營)如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),邊OA在x軸上,OC在y軸上,如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似,且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的
1
4
,那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是( 。

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(1)該工廠從A地購買了多少噸原料?制成運(yùn)往B地的產(chǎn)品多少噸?
(2)這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元?

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