Question

【題目】我們來定義下面兩種數：

（一）平方和數：若一個三位數或者三位以上的整數分拆成最左邊、中間、最右邊三個數后滿足：中間數=（最左邊數）2+（最右邊數）2，我們就稱該整數為平方和數．

例如：對于整數251．它中間的數字是5，最左邊數是2，最右邊數是1．

是一個平方和數

又例如：對于整數3254，它的中間數是25，最左邊數是3，最右邊數是4，

是一個平方和數．當然152和4253這兩個數也是平方和數；

（二）雙倍積數：若一個三位數或者三位以上的整數分拆成最左邊、中間、最右邊三個數后滿足：中間數＝最左邊數最右邊數，我們就稱該整數為雙倍積數．

例如：對于整數163，它的中間數是6，最左邊數是1，最右邊數是3，

是一個雙倍積數，

又例如：對于整數3305，它的中間數是30，最左邊數是3，最右邊數是5，

是一個雙倍積數，當然361和5303這兩個數也是雙倍積數．

注意：在下面的問題中，我們統一用字母表示一個整數分拆出來的最左邊數，用字母表示該整數分拆出來的最右邊數，請根據上述定義完成下面問題：

（1）①若一個三位整數為平方和數，且十位數為4，則該三位數為________；

②若一個三位整數為雙倍積數，且十位數字為 6 ，則該三位數為_________；

③若一個整數既為平方和數，又是雙倍積數，則應滿足的數量關系為_______；

（2）若（即這是個最左邊數為，中間數為565，最右邊數為的整數，以下類同）是一個平方和數，是一個雙倍積數，求的值．

（3）從所有三位整數中任選一個數為雙倍積數的概率．

Answer 1

【答案】(1)①240；②361或163；③；(2)；(3)

【解析】

(1)①根據題意構造關系式，計算即可；

②根據題意構造關系式，計算即可；

③根據定義，這個整數既為平方和數，又是雙倍積數則有，由完全平方公式即可解決問題；
(2)根據定義可知，，再由完全平方公式和平方差公式即可求解；

(3)先求得所有三位整數的個數，再分類討論求得其中為雙倍積數的數據個數，利用概率公式即可求解．

(1)①若一個三位整數為平方和數，且十位數為4，
由定義得：，
由為的整數，則試數可知：
或，
由于百位數字不能為0，
∴此數為：240；
②若一個三位整數為雙倍積數，且十位數字為6，
由定義得：，即，
由為的整數，則試數可知：
則，或，，
∴此數為：361或163；

③，理由如下：

若一個整數既為平方和數，又是雙倍積數
則有，
∴，
∴；
(2)若是一個平方和數，
∴，
若是一個雙倍積數，
∴，
∴，即，

∴，
，即，

∴，
∴；

(3) 所有三位整數的個數：(個)，

設十位數字為，由定義得：，

∴十位數字為一定是偶數，

當時，，最左邊數，最右邊數，滿足條件的有9個，

當時，，則，滿足條件的有1個，

當時，，則，，滿足條件的有2個，

當時，，則，，滿足條件的有2個，

當時，，則，，，滿足條件的有3個，

900個三位整數中是雙倍積數的數有：(個)，

∴從所有三位整數中任選一個數為雙倍積數的概率為：．