Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM＞MC．
（1）求證：AM•MB=EM•MC；
（2）連接DE，DE=，求EM的長．

Answer 1

（1）證明：連接BE、AC．
由圓周角定理，得：∠MEB=∠MAC，∠MBE=∠MCA
∴△MEB∽△MAC
∴，即AM•MB=EM•MC；

（2）解：∵M是OB的中點，
∴OM=MB=2，AM=OA+OM=6
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DEC=90°
Rt△DEC中，DE=，CD=8
由勾股定理，得：CE=7
∴MC=CE-EM=7-EM
由（1）知：AM•MB=EM•MC，即：
（7-EM）×EM=6×2，解得EM=4（EM＞MC）
所以EM的長為4．
分析：（1）將乘積式化為比例式，然后證對應的三角形相似即可，即連接BE、AC，證△ACM∽△EBM；
（2）M是OB的中點，由此可求出AM、BM的長；Rt△DEC中，由勾股定理易求得EC的長，進而可用EM表示出MC，再將這些數(shù)據(jù)代入（1）的乘積式中，即可求出EM的長．
點評：此題主要考查的是圓周角定理、勾股定理及相似三角形的判定和性質(zhì)．