Question

【題目】如圖，拋物線y=+bx+c的對稱軸為x=﹣1，該拋物線與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（1，0），交y軸于C（0，3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．

（2）試判斷△BCD的形狀，并予證明．

（3）在對稱軸上是否存在一點P，使得△ACP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣2x+3，頂點D為（﹣1，4）；(2)△DCB為直角三角形，理由詳見解析；(3) 存在滿足條件的點P，其坐標為（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱性得到點B的坐標為（﹣3，0），故設拋物線為兩點式方程y=a（x﹣1）（x+3），把點C的坐標代入即可求得a的值；利用配方法將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得到頂點D的坐標；

（2）過D作DT⊥y軸于T，則可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，則可判斷△BCD的形狀；

（3）可設出P（﹣1，t），則可分別表示出AP、CP、AC的長度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況分別可得到關于t的方程，可求得P點坐標．

試題解析：（1）點A（1，0）關于x=﹣1的對稱點B（﹣3，0），

設過A（1，0）、B（﹣3，0）的拋物線為y=a（x﹣1）（x+3），

該拋物線又過C（0，3），則有：3=﹣3a，解得a=﹣1，

即y==﹣2x+3，頂點D為（﹣1，4）；

（2）△DCB為直角三角形，理由如下：

過D點，作DT⊥y軸于T，如圖1，

則T（0，4）．

∵DT=TC=1，

∴△DTC為等腰直角三角形，

∴∠DCT=45°，

同理可證∠BCO=45°，

∴∠DCB=90°，

∴△DCB為直角三角形；

（3）設P（﹣1，t），

∵A（1，0），C（0，3），

∴==，==，==10，

∵△APC為等腰三角形，

∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況，

①當AP=CP時，則有=，即=，解得t=1，此時P（﹣1，1）；

②當AP=AC時，則有=，即=10，解得t=，此時P（﹣1，）或（﹣1，）；

③當CP=AC時，則有=，即=10，解得t=0或t=6，此時P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．