Question

如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＞x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²－2x－8＝0的兩個(gè)根．
【小題1】求這條拋物線(xiàn)的解析式；
【小題2】點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【小題3】探究：若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【小題1】∵x²-2x-8="0" ，∴(x-4)(x+2)="0" .∴x₁=4,x₂=-2.
　　       ∴A(4,0) ,B(-2,0)
又∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C,設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+bx+c (a≠0)，
∴ 　　∴
　     ∴所求拋物線(xiàn)的解析式為y＝－x²＋x＋4
【小題2】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G.
　　        ∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)A坐標(biāo)(4,0)，
　　        ∴AB=6， BP=m+2.
　　        ∵PE∥AC，
　　        ∴△BPE∽△BAC.
　　        ∴.
　　        ∴.∴EG＝
　　        ∴S_△CPE= S_△CBP- S_△EBP=BP•CO－BP•EG
　　        ∴(m＋2)（4－）.＝－m ²＋m＋
　　        ∴ (m－1) ²＋3
　　       又∵-2≤m≤4，
　　        ∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CPE有最大值3.
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0).
【小題3】存在Q點(diǎn)，其坐標(biāo)為Q₁(1，1)，Q₂ (1，)，Q_3. (1，－)，
　　        Q_4. (1，4＋)，Q_5. (1，4－)．                              5分解析:
（1）先通過(guò)解方程求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）本題要通過(guò)求△CPE的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式而后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求△CPE的面積的最大值以及對(duì)應(yīng)的P的坐標(biāo)．△CPE的面積無(wú)法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面積差來(lái)求，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出BP的長(zhǎng)，可通過(guò)相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP邊上的高，然后根據(jù)三角形面積計(jì)算方法即可得出△CEP的面積，然后根據(jù)上面分析的步驟即可求出所求的值．
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①Q(mào)C=BC，那么Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去或加上BC的長(zhǎng)．由此可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
②QB=BC，此時(shí)Q，C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，據(jù)此可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
③QB=QC，Q點(diǎn)在BC的垂直平分線(xiàn)上，可通過(guò)相似三角形來(lái)求出QC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．