如圖所示,⊙O分別切△ABC的三邊AB,BC,CA于點(diǎn)D,E,F(xiàn),若BC=a,AC=b,AB=c.
求:(1)AD,BE,CF的長;
(2)當(dāng)∠C=90°時(shí),內(nèi)切圓的半徑長為多少?

解:

(1)設(shè)AD=x,BE=y,CF=z,由切線長性質(zhì)可知AD=AF,BD=BE,CE=CF.

解得,
即AD=,BE=,CF=

(2)如右圖所示,設(shè)⊙O內(nèi)切于Rt△ABC,切點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),
連接OD,OE,OF,則OD⊥AC,OF⊥AB,OE⊥BC.
∵∠C=90°,
∴四邊形ODCE為正方形,則
CD=CE=r,AD=AF=b-r,BF=BE=a-r,而AF+BF=c,
∴b-r+a-r=c,
∴r=
分析:(1)根據(jù)切線長定理列方程組求解;
(2)根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于它的一條切線長,再進(jìn)一步根據(jù)(1)的結(jié)論發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)切圓半徑公式.
點(diǎn)評:熟練運(yùn)用切線長定理,能夠根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線長定理推導(dǎo)出直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)要對一塊長60米、寬40米的矩形荒地ABCD進(jìn)行綠化和硬化.
(1)設(shè)計(jì)方案如圖①所示,矩形P、Q為兩塊綠地,其余為硬化路面,P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等,并使兩塊綠地面積的和為矩形ABCD面積的
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,求P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬.
(2)某同學(xué)有如下設(shè)想:設(shè)計(jì)綠化區(qū)域?yàn)橄嗤馇械膬傻葓A,圓心分別為O1和O2,且O1到AB、BC、AD的距離與O2到CD、BC、AD的距離都相等,其余為硬化地面,如圖②所示,這個(gè)設(shè)想是否成立?若成立,求出圓的半徑;若不成立,說明理由.

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精英家教網(wǎng)某學(xué)校要在圍墻旁建一個(gè)長方形的中藥材種植實(shí)習(xí)苗圃,苗圃的一邊靠圍墻(墻的長度不限),另三邊用木欄圍成,建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD.已知木欄總長為120米,設(shè)AB邊的長為x米,長方形ABCD的面積為S平方米.
(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍).當(dāng)x為何值時(shí),S取得最值(請指出是最大值還是最小值)?并求出這個(gè)最值;
(2)學(xué)校計(jì)劃將苗圃內(nèi)藥材種植區(qū)域設(shè)計(jì)為如圖所示的兩個(gè)相外切的等圓,其圓心分別為O1和O2,且O1到AB、BC、AD的距離與O2到CD、BC、AD的距離都相等,并要求在苗圃內(nèi)藥材種植區(qū)域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面,以方便同學(xué)們參觀學(xué)習(xí).當(dāng)(l)中S取得最值時(shí),請問這個(gè)設(shè)計(jì)是否可行?若可行,求出圓的半徑;若不可行,請說明理由.

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