【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=6,AD平分∠CAB交BC于D,E為射線AC上的一個動點,EF⊥AD交射線AB于點F,聯(lián)結(jié)DF.
(1)求DB的長;
(2)當點E在線段AC上時,設(shè)AE=x,S△BDF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(S△BDF表示△BDF的面積)
(3)當AE為何值時,△BDF是等腰三角形.(請直接寫出答案,不必寫出過程)
【答案】(1)BC=4;(2)y=﹣x+12(0≤x≤6);(3)當AE的值為0或12﹣4或12+4時,△BDF是等腰三角形.
【解析】
(1)根據(jù)含30度角的直角三角形可得AB、BC的長,由AD平分∠CAB可得∠CAD=∠CAB=30°,解直角三角形可得CD的長,則DB=BC﹣CD;
(2)如圖1中,作DH⊥AB于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=DH=2,再根據(jù)已知AD平分∠CAB,EF⊥AD證出∠AEG=∠AFG,則AE=AF=x,BF=12﹣x,由三角形的面積計算公式即可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式,注意x的取值范圍;
(3)分三種情況:①當點E與A重合時,△BDF是等腰三角形,②當點E在線段AC上,BD=BF時,△BDF是等腰三角形,③當點E在線段AC的延長線上,BF=BD時,△BDF是等腰三角形,分別求出AE的值即可.
(1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,AC=6,
∴∠CAB=60°,AB=2AC=12,BC=AC=6,
∵AD平分∠CAB交BC于D,
∴∠CAD=∠CAB=30°,
∴CD=ACtan30°=2,
∴DB=BC﹣CD=6﹣2=4;
(2)如圖1中,作DH⊥AB于H.
∵DA平分∠CAB,DC⊥AC,DH⊥AB,
∴DC=DH=2,
∵EF⊥AD,
∴∠AGE=∠AGF=90°,
∵∠EAG=∠FAG,∠AEG+∠EAG=90°,∠AFG+∠FAG=90°,
∴∠AEG=∠AFG,
∴AE=AF=x,
∴BF=12﹣x,
∴S△BDF=BFDH=(12﹣x)2=﹣x+12(0≤x≤6),
即y=﹣x+12(0≤x≤6);
(3)①當點E與A重合時,△BDF是等腰三角形,此時x=0,即AE=0.
②如圖2中,當BD=BF時,
∵BD=4,
∴BF=4,
∴AE=AF=AB﹣BF=12﹣4,
③如圖2中,當BF=BD=4時,
∴AE=AF′=AB+BF′=12+4,
綜上所述,當AE的值為0或12﹣4或12+4時,△BDF是等腰三角形.
故答案為:(1)BC=4;(2)y=﹣x+12(0≤x≤6);(3)當AE的值為0或12﹣4或12+4時,△BDF是等腰三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,每個小正方形的邊長都是1的方格紙中,有線段AB和線段CD,點A、B、C、D的端點都在小正方形的頂點上.
(1)①在方格紙中畫出一個以線段AB為一邊的菱形ABEF,所畫的菱形的各頂點必須在小正方形的頂點上,并且其面積為20.
②在方格紙中以CD為底邊畫出等腰三角形CDK,點K在小正方形的頂點上,且△CDK的面積為5.
(2)在(1)的條件下,連接BK,請直接寫出線段BK的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,菱形OABC的頂點A在x軸正半軸上,頂點C的坐標為(4,3),D是拋物線y=﹣x2+6x上一點,且在x軸上方,則△BCD面積的最大值為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】問題探索:
(1)已知一個分數(shù),如果分子、分母同時增加1,分數(shù)的值是增大還是減小?請說明你的理由.
(2)若正分數(shù)中分子和分母同時增加2,3,…,k(整數(shù)k>0),情況如何?
(3)請你用上面的結(jié)論解釋下面的問題:
建筑學規(guī)定:民用住宅窗戶面積必須小于地板面積,但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%,并且這個比值越大,住宅的采光條件越好,問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BA延長線上的一點,點E是AC的中點。
(1)實踐與操作:利用尺規(guī)按下列要求作圖,并在圖中標明相應(yīng)字母(保留作圖痕跡,不寫作法)。
①作∠DAC的平分線AM。②連接BE并延長交AM于點F。
(2)猜想與證明:試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,并說明理由。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.點D是BC邊上的一動點(不與點B、C重合),過點D作DE⊥BC交AB于點E,將∠B沿直線DE翻折,點B落在射線BC上的點F處.當△AEF為直角三角形時,BD的長為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),設(shè)慢車行駛的時間為x h,兩車之間的距離為y km,如圖所示的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖象進行以下探究:
(1)甲、乙兩地之間的距離為km;
(2)請解釋圖中點B的實際意義;
(3)求慢車和快車的速度;
(4)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C、D為矩形的四個頂點,AB=16cm,BC=6cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),點P以3cm/s的速度向點B移動,點Q以2cm/s的速度向點D移動.當點P運動到點B停止時,點Q也隨之停止運動.
(1)問幾秒后,點P和點Q的距離是10cm?
(2)問幾秒后,以P、Q、D三點為頂點的三角形為直角三角形?
(提示:根據(jù)不同情況畫出不同的圖形,再給予解決問題.)
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